高考数学二轮复习 专题限时集训11 圆锥曲线中的综合问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题限时集训(十一)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：20分钟)1．[易错题]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．[解](1)由题意知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化简得m2＜4k2＋1.①x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，则(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，所以(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，化简得m2＋k2＝.②由①②得0≤m2＜，＜k2≤.因为原点O到直线l的距离d＝，所以d2＝＝＝－1＋，又＜k2≤，所以0≤d2＜，解得0≤d＜.所以原点O到直线l的距离的取值范围为.2．(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．[解](1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)抛物线C的焦点为F(0，－1)．设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．由得x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.同理得点B的横坐标xB＝－.设点D(0，n)，则DA＝，DB＝，DA·DB＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或n＝－3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．题号内容押题依据1椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系证明问题直线与椭圆的位置关系及椭圆方程的求解是高考常规性问题，注重双基，体现运算能力，证明问题、考查学生的逻辑推理的素养，符合高考最近动态2待定系数法求曲线的方程，设而不求的思想，探索性问题探索性问题是一种动态问题，可以较好的考查学生的动手、动脑能力，而“设而不求”思想是解答圆锥曲线常用的方法，符合高考最新动态【押题1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点.(1)求椭圆C的方程；(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形．[解](1)由题意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，即椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意可得直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，判别式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，得m2＝4k2＋1＞0.设A(x1，y1)，则x1＝＝＝－，y1＝kx1＋m＝＋m＝，即A.易得B，F(，0)，则FA＝，FB＝，FA·FB＝＋＝－－1＋＋1＝0，所以FA⊥FB，即△FAB为直角三角形，得证．【押题2】如图，由部分抛物线y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和.(1)求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解](1)因为“黄金抛物线C”过点(3,2)和，所以r2＝＋＝1,4＝3m＋1，解得m＝1.所以“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB.显然直线l的斜率存在且不为0，结合题意可设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令xA＜0＜xB.由消去y并整理，得k2x2＋(2k－1)x＝0，所以xB＝，yB＝，即B，由xB＞0知k＜，所以直线BQ的斜率为kBQ＝.由消去y并整理，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，所以xA＝－，yA＝，即A，由xA＜0知k＞0，所以直线AQ的斜率为kAQ＝－.因为QP平分∠AQB，且直线QP的斜率不存在，所以kAQ＋kBQ＝0，即－＋＝0，由0＜k＜，可得k＝－1.所以存在直线l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.