高中数学简化和避免分类讨论方法略谈学法指导VIP免费

高中数学简化和避免分类讨论方法略谈顾华分类讨论的思想方法是高中数学的基本方法之一，是历年来高考的重点。分类讨论思想具有明显的逻辑特点，解这一类问题需要同学们有一定的分析能力和分类技巧。但在重视分类讨论思想应用的基础上，应防止见参数就讨论，能整体解决的就不必分类讨论，树立辩证的解题观点使分类讨论用得更为合理。如何简化和避免分类讨论，本文就此作一探讨，供大家借鉴。一、直接回避例1.已知a0且a≠1，解不等式|log()||log()|aaxx11。分析：此题一般都会先去绝对值符号，然后由01a，a1进行分类讨论来解。事实上，对a没有必要进行讨论，可以考虑消去参数a。解：原不等式可化为，所以|lg()||lg()|11xx（因|lg|a0）。上式两边平方、移项、整理可得lg()lg11102xxx。由对数函数的性质得11x且x≠0，所以012x，0112x。因此lg()102x，由此得lg110xx。解上述不等式得01x，即为原不等式的解。评注：运用消参数可避开烦琐的讨论，使问题容易获解。二、变更主元例2.设fxaxx()lg1243，其中aR，如果x(]，1时，fx()有意义，求a的取值范围。分析：根据函数fx()有意义的条件，分离参数a，重新构造函数表达式可避开分类讨论。解：当x(]，1时，fx()有意义，即等价于x(]，1时，12430xxa成立。将不等式变形，分离出axx[()()]1412。原命题等价于x(]，1时，求使上式成立的a的取值范围。令yxx[()()]1412，当x(]，1时，只需aymax。而yxx[()()]1412，在x(]，1上是增函数，故当x1时，得ymax()141234。因此a34，即a的取值范围是()34，。评注：分离参数变参置换、构造以讨论对象为变量的函数，可避开分类讨论。三、合理运算例3.已知函数fxx()|lg|，当0ab时，有fafb()()，求证：ab1。用心爱心专心分析：由已知fafb()()，得|lg||lg|ab。一般方法按01ab或01a，b1或1ab三种情况讨论。若两边平方、移项利用对数函数的性质可避开分类讨论。解：由fafb()()，得|lg||lg|ab。两边平方得lglg22ab，即(lglg)ab(lglg)ab0，所以lg()lgabab·0。又0ab，01ab，得lgab0，所以可得lg()ab0，即ab1。例4.设定义在[－2，2]上的偶函数fx()，在[0，2]上单调递减，若fm()1fm()，求实数m的取值范围。分析：根据函数的定义域，122mm、，[]，但1m和m在[－2，0]、[0，2]的哪个区间内？如果就此讨论，将十分复杂，注意到偶函数的性质fxfx()(||)，从而避开分类讨论。解：由于fx()是偶函数，则有fxfxfx()()(||)，从而不等式fm()1fm()可化为fmfm(||)(||)1。又x[]02，时，fx()是减函数。因此||||121222mmmm，，解得112m。评注：利用等价变形、函数的奇偶性、变量的对称变换以及公式的合理运用可简化和避开分类讨论。四、数形结合例5.对于函数fxxaxa()21，存在x001[]，，使fx()00，求a的取值范围。分析：含参数的二次函数在指定区间上的函数值问题，一般先配方，然后就其图象对称轴在区间内、区间左侧、区间右侧分类讨论。如果改变一下视角，巧妙变形，借助数形结合就可避开分类讨论。解法1：由fxxaxaxaaa()()2221241，其图象对称轴方程为xa2。（1）当021a，即20a时，fxfaaa()()min2412，要x001[]，，使fx()00，必有aa2410，解得a222或a222此时与20a矛盾。（2）当a21，即a2时，fxf()()min12，此时不可能x001[]，，使得fx()00。（3）a20，即a0时，fxfa()()min01要使xfx00010[]()，，使，必有aa101，即综上得a1。解法2（数形结合）：由x[]01，时，fx()0，得xax211()。令yxyax12211，()。作函数yy12与的图象，在x[]01，时，y2过点（0，1）及（1，2）时为极限位置，由图象知其直线y2的斜率满足a1，即a1。用心爱心专心评注：利用函数图象的直观性，通过数形结合可简化和避开分类讨论。比较解法1和解法2，其解法2简洁明快，同学们不妨仔细琢磨一下。用心爱心专心