第3节数列求和的常用方法及其应用考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.了解非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知识梳理求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.[常用结论与易错提醒]1.一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；(3)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n.2.常见的裂项公式(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.()(2)当n≥2时，＝(－).()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.()解析(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.答案(1)√(2)√(3)×(4)√2.等差数列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100＝()A.50B.75C.100D.125解析a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75.答案B3.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A.2n＋n2－1B.2n＋1＋n2－1C.2n＋1＋n2－2D.2n＋n－2解析Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案C4.已知首项为a1，公差为d的等差数列{an}，其前n项为Sn，若Sk－n＝Sk＋n(n，k∈N*且k>n)，则一定有S2k＝()A.ka1B.kdC.0D.不确定解析因为Sk－n＝Sk＋n⇔(k－n)a1＋＝(k＋n)a1＋，即a1＋d＝0.所以S2k＝2ka1＋d＝2k＝0，故选C.答案C5.(必修5P61A4(3)改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1).解析设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，∴Sn＝－.答案－6.(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.解析由解得a1＝1，a2＝3，当n≥2时，由已知可得：an＋1＝2Sn＋1，①an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.∴S5＝＝121.答案1121考点一分组转化法求和【例1】(2020·深圳二调)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n＋2(n∈N*).(1)判断数列{an－2n}是否为等差数列，并说明理由；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，求Sn.解(1)设bn＝an－2n，则bn＋1＝an＋1－2n＋1，则bn＋1－bn＝(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n，＝(an＋2n＋2)－an－2n＝2(n∈N*)，所以数列{an－2n}是首项为0，公差d＝2的等差数列.(2)由(1)可知an－2n＝0＋2(n－1)，∴an＝2n＋2(n－1)，∴Sn＝＋＝2n＋1＋n2－n－2.规律方法(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.【训练1】已知数列{an}的通项公式an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1，当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1，综上所述，Sn＝考点二裂项相消法求和【例2】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an...
