专题一函数与导数第1课时1．已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．2．已知函数f(x)＝xex－a(lnx＋x)(a∈R)．(1)当a＝e时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．3．已知函数f(x)＝x2－(2m＋1)x＋lnx(m∈R)．(1)当m＝－时，若函数g(x)＝f(x)＋(a－1)lnx恰有一个零点，求a的取值范围；(2)当x＞1时，f(x)＜(1－m)x2恒成立，求m的取值范围．4．设函数f(x)＝＋＋klnx(k为常数，e＝2.71828…为自然对数的底数)．(1)当k≥0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,3)内存在三个极值点，求实数k的取值范围．专题一函数与导数第1课时1．解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对任意x∈R，都有f′(x)>0.此时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>；由f′(x)<0，解得－0，∴g(t)在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，g＝e－1＜0，故g(t)在R上只有一个零点；③当a＞0时，由g′(t)＝et－a＝0可知，g(t)在t＝lna时有唯一的一个极小值g(lna)＝a(1－lna)．若0＜a＜e，gmin＝a(1－lna)＞0，g(t)无零点；若a＝e，gmin＝0，g(t)只有一个零点；若a＞e，gmin＝a(1－lna)＜0，而g(0)＝1＞0，由于f(x)＝在x＞e时为减函数，可知：a＞e时，ea＞ae＞a2.从而g(a)＝ea－a2＞0，∴g(x)在(0，lna)和(lna，＋∞)上各有一个零点．综上讨论可知：a＞e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e，＋∞)．3．解：(1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)．当m＝－时，f(x)＝x2＋lnx，g(x)＝alnx＋x2，∴g′(x)＝＋2x＝.①当a＝0时，g(x)＝x2，x＞0时无零点．②当a＞0时，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，取x0＝e，则g(e)＝－1＋(e)2＜0. g(1)＝1，∴g(x0)·g(1)＜0，此时函数g(x)恰有一个零点．③当a＜0时，令g′(x)＝0，解得x＝.当00，可得ex＋kx>0，∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．图D134(2)由(1)知，当k≥0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，在(2,3)内单调递增，故f(x)在(0,3)内仅存在一个极值点x＝2；当k<0时，令ex＋kx...
