第4节数列的综合问题(选用)考试要求1.以递推关系为背景，在等差、等比数列交汇的题目中，进行数列的基本运算，求数列的通项公式与前n项和；2.在数列与函数、不等式、解析几何的交汇处，考查数列的综合应用；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.知识梳理1.数列与不等式的综合问题大多与数列的前n项和问题相关，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决.2.数列与解决几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决.3.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注.诊断自测1.在等差数列{an}中，已知a1，a2，a6成等比数列，数列{an}的前三项和为24，则2018是数列{an}的()A.第336项B.第337项C.第504项D.第505项解析由已知条件得a＝a1a6，设数列{an}的公差为d，则解得或又2018是数列{an}的项，则不符合题意舍去，所以an＝6n－4，令6n－4＝2018，解得n＝337.答案B2.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是()A.(－∞，2)B.(－∞，3)C.(－∞，4)D.(－∞，5)解析由Sn＝3n(λ－n)－6，可得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1(2λ－2n－1)，则an＋1＝3n(2λ－2n－3)，而数列{an}单调递减，则an>an＋1，且a1>a2，即3n－1(2λ－2n－1)>3n(2λ－2n－3)，且3·(λ－1)－6>31·(2λ－4－1)，解得λ<2＋n，且λ<2，可得λ<2，故选A.答案A3.如果函数f(x)＝kx－1(k≠0，x∈N*)，Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，若f(1)，f(3)，f(13)成等比数列，则()A.2Sn－7≤5f(n)B.2Sn＋7≤5f(n)C.2Sn－7≥5f(n)D.2Sn＋7≥5f(n)解析由题意得，(3k－1)2＝(k－1)(13k－1)⇒k＝2(k＝0舍去)，∴f(x)＝2x－1，Sn＝＝n2，∴2Sn－5f(n)＋7＝2n2－10n＋12＝2(n－2)(n－3)≥0在n∈N*时恒成立，∴2Sn＋7≥5f(n).答案D4.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0，10]，则c＝________，使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是________.解析由函数与方程思想可知，不等式对应的方程x2＋x＋c＝0的解为0，10，且d<0，所以c＝0，且－＝10，解得a1＝－d，所以Sn＝na1＋d＝(n2－10n)＝[(n－5)2－25].因为d<0，所以当n＝5时，Sn取到最大值.答案055.若公差为d的等差数列{an}(n∈N*)满足a3·a4＋1＝0，则公差d的取值范围是________.解析由a3·a4＋1＝0得(a1＋2d)(a1＋3d)＋1＝0⇒a＋5da1＋6d2＋1＝0，所以Δ＝25d2－4(6d2＋1)≥0⇒d≥2或d≤－2.答案(－∞，－2]∪[2，＋∞)6.若不等式(－1)n·a<3＋对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________.解析n为偶数时，a<3－，只需a<，即a<3－＝；n为奇数时，－a<3＋只需－a<，即－a≤3，∴a≥－3.综上实数a的取值范围是.答案考点一等差、等比数列的综合问题【例1】设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列.已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式.(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*).①求Tn；②证明＝－2(n∈N*).(1)解设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d.由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故bn＝n.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n.(2)①解由(1)，有Sn＝＝2n－1，故Tn＝（2k－1）=2k-n＝－n＝2n＋1－n－2.②证明因为＝＝＝－，所以＝＋＋…＋＝－2.规律方法等差数列与等比数列的综合问题，要能在具体情境中识别数列的等差、等比关系，并能利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式解决相应问题.【训练1】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b...
