解答题训练（1）1．已知向量，设函数.(Ⅰ)求函数的最大值；(Ⅱ)在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，，且的面积为，,求的值.1.解:(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，因为，所以，，又2.如图，在直三棱柱中，.（1）若，求证：平面；（2）若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.2.（1）证明：当，可知，.又，，且，平面.1而平面，.由平面.（2）设B到平面的距离等于H，则，，。所以，当点为棱的中点时，点到平面的距离等于.3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3－x+8(0＜x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？3.解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，要耗油(×403－×40+8)×2.5=17.5（升）.所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5.（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(x3－x+8)·=x2+－(0＜x≤120)，h(x)=－=(0＜x≤120)，令h(x)=0得x=80，当x∈(0,80)时，h(x)＜0,h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h(x)＞0,h(x)是增函数,∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.4.已知曲线上动点到定点与定直线的距离之比为常数．（1）求曲线的轨迹方程；（2）以曲线的左顶点为圆心作圆：，设圆与曲线交于点与点，求的最小值，并求此时圆的方程.4.解：（1）过点作直线的垂线，垂足为.，；所以椭圆的标准方程为。（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．由于点在椭圆上，所以．由已知，则，，2．由于，故当时，取得最小值为．计算得，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．故圆的方程为：．.3
