江苏省木渎高级中学天华学校高三数学附加题周练（6）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A．选修4—1：几何证明选讲已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线，求证：CD2＝BD·EC．B．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，且M＝．求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．D．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c\s\up1()R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.如图，在直三棱柱中，已知，，．（1）求异面直线与夹角的余弦值；1·OBACDE（第21题A图）（第22题图）ABCA1B1C1（2）求二面角平面角的余弦值．23.某品牌汽车4店经销，，三种排量的汽车，其中，，三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．（1）求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．21.A．选修4—1：几何证明选讲证：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE．…………………2分因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD，2所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC．……6分所以＝，即AD·CA＝BD·EC．…………8分因为△ACD为等边三角形，所以AD＝AC＝CD，所以CD2＝BD·EC.……………10分B．选修4—2：矩阵与变换【解】设，则由，得再由，得联立以上方程组解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故．……………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：设M(2cosθ，2sinθ)，θ\s\up1()(0，)．由题知OA＝2，OB＝2，………………………2分所以四边形OAMB的面积S＝×OA×2sinθ＋×OB×2cosθ＝2sinθ＋2cosθ＝2sin(θ＋)．……………………8分所以当θ＝时，四边形OAMB的面积的最大值为2．……………10分D．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[a2＋(b)2＋(c)2][12＋()2＋()2]≥(a＋b＋c)2．…………8分因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11，所以－≤a＋b＋c≤．所以a＋b＋c的最大值为，当且仅当a＝2b＝3c＝．………10分22．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，，，．（1）因为，所以异面直线与夹角的余弦值为．…………………………4分（2）设平面的法向量为，3xyz（第22题图）ABCA1B1C1则即取平面的一个法向量为；设平面的法向量为，则即取平面的一个法向量为；则，所以二面角平面角的余弦值为．…………………………10分23.(1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为．………………4分(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3.则，．所以的分布列为…………8分数学期望．…………………………10分１２３4
