第2讲数列求和及综合应用A组小题提速练一、选择题1．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．90解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a3a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，故2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋28d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋45d＝60.答案：C2．已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是()A．4B．5C．6D．7解析： 关于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx2＋2a1x＝0的两个实数根，且d<0，∴－＝9，a1＝－.∴an＝a1＋(n－1)d＝d，可得a5＝－d>0，a6＝d<0.∴使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.答案：B3．数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋的值为()A.B.C.D.解析：由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2＝2＝.答案：A4．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.若首项a1＝，公差d＝1，则满足Sk2＝(Sk)2的正整数k的值为()A．7B．6C．5D．4解析：法一：由题意知，Sk2＝＝＝，Sk＝＝＝，因为Sk2＝(Sk)2，所以＝，得k＝4.法二：不妨设Sn＝An2＋Bn，则Sk2＝A(k2)2＋Bk2，Sk＝Ak2＋Bk，由Sk2＝(Sk)2得k2(Ak2＋B)＝k2(Ak＋B)2，考虑到k为正整数，从而Ak2＋B＝A2k2＋2ABk＋B2，即(A2－A)k2＋2ABk＋(B2－B)＝0，又A＝＝，B＝a1－＝1，所以k2－k＝0，又k≠0，从而k＝4.答案：D15．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝()A．2B．4C．5D.解析：因为＝＝＝22，所以令n＝3，得＝22＝4，故选B.答案：B6．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为()A．22B．21C．24D．23解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋>0，得n<23.5，所以使ak·ak＋1<0的k值为23.答案：D7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为()A．16B．20C．33D．120解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.答案：C8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1解析：因为an＋1＝3Sn，所以an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝3an，即＝4(n≥2)，所以数列a2，a3，a4，…构成以a2＝3S1＝3a1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a6＝a2·44＝3×44.答案：A9．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)，则a1＋a2＋…＋a100＝()A．0B．100C．5050D．10200解析：a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5050.答案：C10．已知数列{an}的首项a1＝1，且an－an＋1＝anan＋1(n∈N＋)，则a2015＝()A.B.C．－D.解析： an－an＋1＝anan＋1，∴－＝1，又 a1＝1，∴＝1，∴数列是以首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝n，∴＝2015，∴a2015＝.故选D.答案：D211．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝()A．－30B．－60C．90D．120解析：由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.答案：D12．已知Sn是非零数列{an}的前n项的和，且Sn＝2an－1，则S2017等于()A．1－22016B．22017－1C．22016－1D．1－22017解析： Sn＝2an－1，∴S1＝1，且Sn＝2(Sn－Sn－1)－1，即Sn＝2Sn－1＋1，得Sn＋1＝2(Sn－1＋1)，由此可得数列{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，得Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1，∴S2017＝22017－1，故选B.答案：B二、填空题13．若数列{an}满足＝，且a1＝3，则an＝________.解析：由＝，得－＝2，∴数列是首项为，公差为2的等差数列．∴＝＋(n－1)×2...
