第二讲数列的综合应用限时规范训练一、选择题1．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝()A．2B．4C．5D.解析：因为＝＝＝22，所以令n＝3，得＝22＝4，故选B.答案：B2．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为()A．22B．21C．24D．23解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋>0，得n<23.5，所以使ak·ak＋1<0的k值为23.答案：D3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为()A．16B．20C．33D．120解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.答案：C4．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1解析：因为an＋1＝3Sn，所以an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝3an，即＝4(n≥2)，所以数列a2，a3，a4，…构成以a2＝3S1＝3a1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a6＝a2·44＝3×44.答案：A5．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)，则a1＋a2＋…＋a100＝()A．0B．100C．5050D．10200解析：a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5050.答案：C6．已知数列{an}的首项a1＝1，且an－an＋1＝anan＋1(n∈N＋)，则a2015＝()A.B.C．－D.解析： an－an＋1＝anan＋1，∴－＝1，又 a1＝1，∴＝1，∴数列是以首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝n，∴＝2015，∴a2015＝.故选D.答案：D7．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝()A．－30B．－60C．90D．120解析：由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.答案：D8．已知Sn是非零数列{an}的前n项的和，且Sn＝2an－1，则S2017等于()A．1－22016B．22017－1C．22016－1D．1－22017解析： Sn＝2an－1，∴S1＝1，且Sn＝2(Sn－Sn－1)－1，即Sn＝2Sn－1＋1，得Sn＋1＝2(Sn－1＋1)，由此可得数列{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，得Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1，∴S2017＝22017－1，故选B.答案：B二、填空题9．若数列{an}满足＝，且a1＝3，则an＝________.解析：由＝，得－＝2，∴数列是首项为，公差为2的等差数列．∴＝＋(n－1)×2＝2n－，∴an＝.答案：10．已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．解析： a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴Sn＝＝3n－1.答案：3n－111．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，anan＋1＝3n(n∈N*)，则S2014＝________.解析：由anan＋1＝3n知，当n≥2时，anan－1＝3n－1.所以＝3，所以数列{an}所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．又因为a1＝1，所以a2＝3，a2n－1＝3n－1，a2n＝3n.所以S2014＝(a1＋a3＋…＋a2013)＋(a2＋a4＋…＋a2014)＝4×＝2×31007－2.答案：2×31007－212．数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：由已知可得(n＋1)an＋1＝，设nan＝bn，则bn＋1＝，所以＝＋1，可得＋1＝＋2＝2，即是公比为2，首项为3的等比数列，故＋1＝3×2n－1∴an＝.答案：三、解答题13．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解析：(1) an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴{an＋1－an}为常数列，∴{an}是以a1为首项的等差数列，设an＝a1＋(n－1)d，则a4＝a1＋3d，∴d＝＝－2，∴an＝10－2n.(2)由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an...
