高考数学 专题35 两条直线的位置关系热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题35两条直线的位置关系1．能根据直线的方程判断两条直线的位置关系。2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离。热点题型一两条直线的平行与垂直例1、(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________。(2)若直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，则a的值为________。(2)当a＝2时，l3：x＝，l4：y＝1。所以l3⊥l4。当a＝时，l3：y＝－5x＋，l4：x＝－3。所以l3不垂直于l4。当a≠2且a≠时，k3＝，k4＝。由k3k4＝－1可得·＝－1。解得a＝3。综上可知：a＝2或3。【提分秘籍】由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)【举一反三】已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8解析： l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8，又 l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10。答案：A热点题型二直线的交点例2、经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________。解析：方法一：先解方程组得l1、l2的交点(－1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为－，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0。方法二： l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0。方法三： l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0。其斜率－＝－，解得λ＝，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0。【提分秘籍】常见的直线系方程运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2。【举一反三】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则直线l的方程为________。解析：方法一：设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得和解之，得xA＝和xB＝， P(3,0)是线段AB的中点，由xA＋xB＝6得＋＝6，解得k＝8。故所求的直线l为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0。方法二：设l1上的点A的坐标为(x1，y1)， P(3,0)是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，∴解这个方程组，得∴点A的坐标为，由两点式可得l的方程8x－y－24＝0。热点题型三距离公式及其应用例3．(1)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝()A．7B.C．14D．17(2)过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线方程为________________。解析：(1)直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝，故选B。(2)显然这条直线斜率存在。设直线方程为y＝kx＋b，根据条件有化简得或所以k＝－4，b＝6或k＝－，b＝。所以直线方程为y＝－4x＋6或y＝－x＋，即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0。【提分秘籍】距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式。(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式。提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等。【举一反三】若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2...