高考数学一轮复习 第五章 数列 数列求和的七种基本方法试题-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

数列求和的七种基本方法数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了2016年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法．1运用公式法很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列前n项和nS的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)2135(21)12222111111122222nnnnnnnnn还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222)1(41321)12)(1(61321nnnnnnn题1(2016年高考全国卷I文科第17题)已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足12111==3nnnnbbabbnb1，，．（1）求na的通项公式；（2）求nb的前n项和．解(1)在11nnnnabbnb中选1n，得1221abbb，即11111,233aa．又因为na是公差为3的等差数列，所以23(1)31nann．（2）由（1）得1131nnnnbbnb，即113nnbb，得nb是以1为首项，13为公比的等比数列，得113nnb.1所以nb的前n项和111313122313nnnS．2倒序相加法事实上，等差数列的前n项和nS的公式推导方法就是倒序相加法．题2求正整数m与()nmn之间的分母为3的所有既约分数的和S．解显然，这些既约分数为：31,32,34,,34,32,31nnnmmm有)31()32()34()34()32()31(nnnmmmS也有)31()32()34()34()32()31(mmmnnnS所以2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS题3求数列123n的前n项和nS.解法1因为211123(1)()22nnnnn，所以22221[(123)(123)]2nSnn1111(1)(21)(1)(1)(2)2626nnnnnnnn解法2因为2331211123(1)CCC(2)2nnnnnnn所以33333333343542121C(CC)(CC)(CC)C(1)(2)(2)6nnnnSnnnn进而可得1(1)(2)(6nSnnnnN*).解法3(倒序相加法)可得1(12)(123)(123)nSn1(21)(321)[(1)(2)1]nSnnn1212[(1)(1)][(2)(2)(2)](1111)nnnSnnnnnn个个()3个()把它们相加，得231(2)2(2)3(2)(2)nSnnnnn1(123)(2)(1)(2)2nnnnn1(1)(2)6nSnnn3裂项相消法题4(2016年高考天津卷理科第18题)已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的*nN，nb是na和1na的等比中项.（1）设22*1,nnncbbnN，求证：数列nc是等差数列；（2）设1ad，2211nknkkTb，*nN，求证：21112nkkTd.解(1)可得21nnnbaa，所以221nnncbb121nnnnaaaa12nda①212122nnnnccdaad所以数列nc是等差数列.(2)可得1(1)(1)naanddndnd，还可得①式在这里也成立，所以2222221234212nnnTbbbbbb2422ndaaa222(2462)21dndnn所以222211111111111112121212nnnkkkkTdkkdkkdnd4分组求和法题5求11111111111224242nnS．3解设11111242nna，得1122nna．所以本题即求数列1122n的前n项和：111111212222422nnnnSnnan题6(2016年高考天津卷文科第18题)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．解(1)设等比数列na的公比为q，可得2111112aaqaq，解得2q或1.又由61(1)631naqSq知，1q，所以61(12)6312a，...