高考数学一轮知能训练 专题六 立体几何（第3课时）（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第3课时1．(2016年新课标Ⅰ)如图Z620，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值．图Z6202．(2016年北京)如图Z621，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．图Z6213．(2018年江苏)如图Z622，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．图Z6224．如图Z623，在四棱锥PABCD中，PD⊥AB，PD⊥BC，AB＝AD，∠BAD＝30°.(1)证明：AD⊥PB；(2)若PD＝AD，BC＝CD，∠BCD＝60°，求二面角APBC的余弦值．图Z6235．如图Z624，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.(1)当AG＋GC最小时，求证：BD⊥CG；(2)当2VBADGE＝VDGBCF时，求二面角DBGC平面角的余弦值．图Z6246．如图Z625，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC＝FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD＝45°.(1)求证：CD⊥BF；(2)若AB＝2EF＝2，BC＝，直线BF与平面ABCD所成角为45°，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．图Z6257．如图Z626，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．(1)求证：平面ACD⊥平面BCD；(2)当＝2时，求二面角DACB的余弦值．图Z6268．如图Z627所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，DC＝DA＝2AB＝2，点E为AD的中点．BD∩CE＝H，PH⊥平面ABCD，且PH＝4.(1)求证：PC⊥BD.(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角BDFC的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．图Z627第3课时1．(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，又EF∩DF＝F，∴AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解：过点D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知，DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长度，建立如图D258所示的空间直角坐标系Gxyz，图D258由(1)知，∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°.则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．由已知，AB∥EF，∴AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC＝DC，故AB∥CD，CD∥EF.由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，∴∠CEF为二面角CBEF的平面角．∴∠CEF＝60°.从而可得C(－2,0，)．∴EC＝(1,0，)，EB＝(0,4,0)，AC＝(－3，－4，)，AB＝(－4,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即∴可取n＝(3,0，－)．设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝(0，，4)．则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角EBCA的余弦值为－.2．(1)证明： 平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又 PA⊥PD，PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB.(2)解：取AD的中点O，连接PO，CO， PA＝PD，∴PO⊥AD.又 PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD. CO⊂平面ABCD，∴PO⊥CO. AC＝CD，∴CO⊥AD.建立如图D259所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意，得A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1，y＝－2.∴n＝(1，－2,2)．又PB＝(1,1，－1)，∴cos〈n，PB〉＝＝－.∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.图D259(3)解：设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM＝λAP.因此点M(0,1－λ，λ)，BM＝(－1，－λ，λ)． BM⊄平面PCD，∴要使BM∥平面PCD，只有当且仅当BM·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝.∴在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.3．解：如图D260，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz. AB＝AA1＝2，∴A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0...