巧用圆心妙解题圆是解析几何的基本图形之一，它既是中心对称图形，也是轴对称图形．在解决与圆有关的问题时，善于抓住圆心，可使问题迅速得到解决．1．最值问题例1已知2264120xyxy，求22xy的最大值与最小值．解：将已知方程配方，得22(3)(2)1xy，圆心(32)C，，半径1r．22(03)(02)1，原点在圆外．22(30)(20)13OC．又22xy表示圆上动点到坐标原点距离的平方，22xy的最大值为22()(131)14213OCr，22xy的最小值为22()(131)14213OCr．点评：若点P是圆C外一点，则该点与圆上点的最大距离为PCr，最小距离为PCr；若点P在圆内，则该点与圆上点的最大距离为PCr，最小距离为rPC．例2已知圆2264120Cxyxy：，点P在圆上，求点P到直线50lxy：的最大距离和最小距离，并求最近点的坐标．解：将已知方程配方，得22(3)(2)1xy，①圆心(32)C，，半径1r，圆心C到直线l的距离223(2)522111d，直线与已知圆相离，点P到直线l最大距离为221，到直线l最小距离为221．过(32)，与l垂直的直线方程是50xy，②联立①，②，解得622422xy，，或62242.2xy，（舍去）则点624222，为圆上与直线50xy最近的点．点评：当直线与圆相离时，圆上的点到直线最大距离为dr，最小距离为dr；当直线与圆相交时，圆上的点到直线最大距离为dr，最小距离为0（其中d为圆心到直线的距离，r为用心爱心专心圆的半径）．2．对称问题例3求与圆224240xyxy关于直线30xy成轴对称的圆的方程．分析：圆关于直线对称的曲线仍是圆，且两圆大小相等，只是两圆圆心位置不同，因此，此类问题可化归为点关于直线的对称点问题来解决．解：将已知圆的方程配方，得22(2)(1)1xy，圆心(21)C，，半径1r．设(21)C，关于直线30xy的对称点为00()Cxy，，则00001112213022yxxy，，解得0045xy，，所求圆的方程为22(4)(5)1xy，即22810400xyxy．点评：求解点（或曲线）关于直线yxb的对称问题时，还可利用代换法，比如本例，由30xy，得33xyyx，，代入已知圆的方程224240xyxy，得22(3)(3)4(3)2(3)40yxyx，化简即得所求对称圆的方程，即22810400xyxy，该方法适合于求解客观题型．3．判断位置关系例4已知点00()Mxy，是圆222xyr内异于圆心的点，则直线200xxyyr与此圆的交点的个数为（）Ａ．2个Ｂ．1个Ｃ．0个Ｄ．不能确定解析：点00()Mxy，是圆222xyr内异于圆心的点，22200(0)(0)xyr，即22200xyr，圆心到直线200xxyyr的距离2200220000xyrrdrrxy，故直线与圆没有交点，选（Ｃ）．点评：判断点（或直线）与圆的位置关系时，常利用圆心到点（或直线）的距离与半径大小进行比较，该方法简捷方便．4．求参数的大小用心爱心专心例5已知圆22()(2)4(0)Cxaya：及直线30lxy：，当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a（）Ａ．2Ｂ．22Ｃ．21Ｄ．21解析：如右图，依题意，圆心(2)a，到直线l的距离应等于1，即2312a，12a．0a，21a，选（Ｃ）．点评：在解与弦长有关的问题时，从圆的几何性质入手，运用垂径定理可得弦长222rd（r为圆的半径，d为弦心距），从而使问题得以迅速解决．用心爱心专心
