第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号三角函数图象4,5,9三角函数性质1,6,7,8,10,11三角恒等变换2,3,12一、选择题1.(2018·广西桂林市一模)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于原点对称的函数是(A)(A)y=cos(2x+)(B)y=sin(2x+)(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sinx+cosx解析:对于选项A,y=-sin2x,T==π,且图象关于原点对称.故选A.2.(2018·甘肃模拟)已知cos(-)=,则sinθ等于(C)(A)(B)(C)-(D)-解析:因为cos(-)=,所以cos(-θ)=2cos2(-)-1=-=sinθ,即sinθ=-,故选C.3.(2018·佛山一模)已知tanθ+=4,则cos2(θ+)等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由tanθ+=4,得+=4,即=4,所以sinθcosθ=,所以cos2(θ+)=====.故选C.4.(2018·江西省六校联考)设ω>0,函数y=sin(ωx+)-1的图象向左平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(D)(A)(B)(C)(D)3解析:因为图象向左平移个单位后与原图象重合,所以是一个周期的整数倍,即=·k,ω=3k,k∈Z.ω的最小值是3.选D.5.(2018·辽宁葫芦岛二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0<<π)的图象如图所示,则下列说法正确的是(B)(A)函数f(x)的周期为π(B)函数y=f(x-π)为奇函数(C)函数f(x)在[-π,]上单调递增(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称解析:观察图象可得,函数的最小值为-2,所以A=2,又由图象可知函数图象过(0,),(,-2),即结合ω>0,0<<π可得ω=,=,或ω=,=,又T=>,即ω<,所以f(x)=2sin(x+),显然A选项错误;对于B,f(x-π)=2sin[(x-π)+]=2sinx,是奇函数;对于C,x∈[-π,],则x+∈[0,π],f(x)不单调;对于D,当x=时,f(x)=2sin(×+)=2cos≠0,不正确.故选B.6.(2018·陕西西工大附中七模)已知f(x)=sin(2017x+)+cos(2017x-)的最大值为A,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=sin(2017x+)+cos(2017x-)=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x=2sin(2017x+),所以A=2,|x1-x2|≥=,所以A|x1-x2|≥.选B.7.(2018·河南洛阳联考)已知函数f(x)=sin(sinx)+cos(sinx),x∈R,则下列说法正确的是(C)(A)函数f(x)是周期函数且最小正周期为π(B)函数f(x)是奇函数(C)函数f(x)在区间[0,]上的值域为[1,](D)函数f(x)在[,]上是增函数解析:A中,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(-sinx)+cos(-sinx)=-sin(sinx)+cos(sinx)≠f(x),A不对;B中,f(-x)=sin[sin(-x)]+cos[sin(-x)]=-sin(sinx)+cos(sinx)≠-f(x),B不对;C中,令t=sinx,因为x∈[0,],所以t∈[0,1],则y=sint+cost=sin(t+),t∈[0,1],所以t+∈[,1+],所以sin(t+)∈[,1],所以y∈[1,],C正确;D中,f(x)=sin(sinx+),令t=sinx+,则y=sint,内层函数t=sinx+在[,]上单调,而x∈[,]时,t∈[+,1+],此时外层函数y=sint不单调,D不对.故选C.二、填空题8.(2018·东北三校二模)函数f(x)=cosxsin(x+)-cos2x+在闭区间[-,]上的最小值是.解析:f(x)=cosx(sinx+cosx)-cos2x+=sin2x-cos2x+=sin2x-(cos2x+1)+=(sin2x-cos2x)=sin(2x-),由x∈[-,],所以2x-∈[-π,],所以当2x-=-时f(x)min=-.答案:-9.(2018·云南玉溪模拟)函数y=Asin(ωx+)+k{A>0,ω>0,||<,x∈R}的部分图象如图所示,则该函数表达式为.解析:根据函数y=Asin(ωx+)+k{A>0,ω>0,||<,x∈R}的部分图象,可得k==1,A==2,×=-2,所以ω=.再根据五点法作图可得×2+=,所以=-,故该函数的解析式为y=2sin(x-)+1.答案:y=2sin(x-)+110.(2018·吉林大学附中四模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈(0,)时,f(x)=sinπx,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是.解析:因为函数f(x)的定义域为R,周期为3,所以f(0)=f()=f()=0,如图所示,画出函数的图象,由图象可知在[0,6]上的零点为0,1,,2,3,4,,5,6,所以共有9个零点.答案:9三、解答题11.(2018·合肥三模)已知函数f(x)=sinxcosx-cos(2x-).(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2)将函数f(x)图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为g(x).当x∈[0,]时,求函数g(x)的值域.解:(1)f(x)=sinxcosx-cos(2x-)=sin2x-cos2x=sin(2x-).令2x-=+kπ,k∈Z,解得x=+,所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)把f(x)=sin(2x-)的图象向右平移个单位,可得g(x)=sin(2x-),因为x∈[0,],所以2x-∈[-,],所以sin(2x-)∈[-1,],所以g(x)=sin(2x-)∈[-,],即当x∈[0,]时,函数g(x)的值域为[-,].12.(2018·湖南省永州市一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+){A>0,ω>0,||<}的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)方程f(x)=在[0,]上的两解分别为x1,x2,求sin(x1+x2),cos(x1-x2)的值.解:(1)由图象可知A=2,T=-=π,因为T=,所以ω=2,因为f(x)的图象过点(,2),即2sin(2×+)=2,+=2kπ+(k∈Z),即=2kπ+(k∈Z),又因为||<,所以=,所以f(x)=2sin(2x+).(2)因为f(x)的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为,图象f(x)=在[0,]上的两解x1,x2关于直线x=对称,所以x1+x2=,所以sin(x1+x2)=,因为cos(x1-x2)=cos(2x1-)=sin(2x1+),f(x1)=2sin(2x1+)=,所以cos(x1-x2)=.
