高中数学等差数列中的抽取与插入袁希军按某种规则，在一个已知数列中抽取或插入若干项，则新数列与原数列之间自然存在千丝万缕的关联，由此构成颇为有趣的一类题型，现介绍这类题型的求解思路。一、从公差的角度思考例1、在两个实数m、n之间分别插入a1、a2和b1、b2、b3构成两个等差数列m，和m,b1，b2，b3，n。则。分析：即是第一个数列的公差，即是第二个数列的公差。解：由公差的求解公式，得第一个数列的公差；第二个数列的公差则【点评】注意等差数列中公式的多角度利用，可便捷求得某项或公差。二、从项的角度思考例2、在等差数列{an}中每相邻两项中间插入3个实数，使它们与原数列各项构成一个新等差数列，则新数列的第29项（）。（A）不是原数列的项（B）是原数列的第7项（C）是原数列的第8项（D）是原数列的第9项分析：由题意知a2是新数列的第5项，则由此可以确定新、原两个数列公差之间的数量关系。解：设原数列的公差为d，则新数列的公差。因为新、原两个数列有共同的首项，则新数列的第29项为。故选C。【点评】得出新、原两个数列公差之间的数量关系，则可探索两数列项与项之间的关系。三、从和的角度思考例3、将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和为781，则整数k的值为（）。（A）20（B）21（C）22（D）24分析：选择求和公式，即可建立关于k的方程。解：新的等差数列共k+2项，4、67分别为其首项、末项，则，解得k=20。故选A。【点评】等差数列的求和公式主要有两种表达形式：，形式选择不当，则计算过程会较繁琐。四、从平均数的角度思考例4、等差数列{an}中，，它的前11项的平均值为5，若从中抽取1项，余下各项的平均值为4，则抽取的项是（）。（A）a11（B）a10（C）a9（D）a8分析：由平均数可得各项之和，由此得所抽取项的值。解：由题意得所抽取的项；由，解得d=2。则，解得n=11。故选A。【点评】将数列之和用“平均数”这个形式来表述，新颖灵巧不呆板。
