圆锥曲线的一个统一性质———由一道高考题引发出的思考衡阳县第三中学吴伟昌题（2001年全国·理）：设抛物线y2=2px（p>0）的一个焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过原点O。参考答案给出了如下的几何证法：证明：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则AD∥FE∥BC．连结AC，与EF相交手点N，则根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．近几年，笔者在高三复习备考教学中，对该题的条件与结论进行一番探究，编拟如下一组命题，从而得到圆锥曲线的一个统一性质。命题1设椭圆的右焦点为F，经过点F的直线交椭圆于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过定点。证明：如图，记x轴与椭圆的右准线l的交点为E,过A作AD⊥l，D是垂足．则AD∥FE∥BC．连结AC，与EF相交于点N，则根据椭圆的第二定义，即点N是EF的中点，∴直线AC经过EF的中点N。用心爱心专心115号编辑XEAAACONFYDBADlNEXCOFYBA命题2设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线右支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过定点。证明：如图，记x轴与双曲线的右准线l的交点为E，直线AC与EF交于点N，过A作AD⊥l，D是垂足．∵AD∥FE∥BC∴根据双曲线的第二定义即|AF|·|BC=||BF|·|AD|∴点N是EF的中点，故直线AC过定点（EF的中点N）。命题3设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过定点。证明：如图，记x轴与双曲线的右准线l的交点为E，直线AC与EF交于点N，过A作AD⊥l，D是垂足．∵AD∥FE∥BC∴根据双曲线的第二定义即|AF|·|BC=||BF|·|AD|∴点N是EF的中点，故直线AC过定点（EF的中点N）。用心爱心专心115号编辑XEAAACONFDBAlYXEAAACONFDBAlYXEAAACONFDBAlY由此可见，这个直线过定点问题具有普遍性质，不是某一类圆锥曲线所特有的性质，而是圆锥曲线的一个统一性质。现将圆锥曲线这一个统一的性质归纳概括成如下定理：定理过圆锥曲线的焦点的直线交圆锥曲线于A、B两点，点C在相应的准线l上，且BC⊥l，则直线AC过定点。用心爱心专心115号编辑XEAAACONFDBAlY
