零的陷阱陈光建忽视“零的问题”，往往得“零”分!数学家傅仲孙先生说得好：“当教师的人，能对于‘零’谨慎小心，则受福无量矣!”，而这句话对于学生来说同样重要。在解答这类问题时，易忽视其中零的特殊应用而得出不完全的或错误的结果，甚至误入歧途．现列举在高中课程中容易出问题的“零”进行剖析，以期引起大家的重视。陷阱一：有些概念的辨析在“涉零”情况中设立“陷阱”针对学生容易误入零这个陷阱，要经常注意概念的辨析，既要讲清楚概念的本质属性，更要对其特殊情况“零”加以说明，引导他们看清实质，防止以偏概全。例1.已知是定义在R上的奇函数，且时，。误解：因为当，所以当是奇函数，即剖析：该题是定义在R上的奇函数，包括了的情形，而上述的解法只考虑了这两种情形，而忽略了时的表达式，导致解答不完整。事实上完整答案应该是：该题的误解具有普遍性，要引导学生养成认真审题、周密思考、回顾检验的良好习惯。例2.已知集合，若A中只有一个元素，求a的值。误解：因为A中只有一个元素，所以。剖析：该题虽然简单，但在解答过程中普遍具有上述错误，忽略了对于a=0情形的讨论，导致解答的不完整。正解：（i）时，，即，所以符合。（ii），所以所以由（i）（ii）得：或1时，A中只有一个元素。剖析：该题对于“零”的处理具有典型意义，当最高次前面系数为参数时，不能忘了对参数等于“零”情形的讨论。陷阱二：疏忽涉零情形的讨论误入“陷阱”学生有时疏忽“陷阱”零的讨论，致使解题过程不严密，因此在平时教学中要特别引导学生对这些问题的重视，培养学生严密细心的良好习惯。例3.已知等比数列的公比为q，其前n项的和为，且存在，对所有这样用心爱心专心的等比数列，记集合，则M的非空子集的个数为（）A.1B.3C.2D.7误解：由题意知，，①当；于是满足要求的，从而推知非空子集有3个，选B。剖析：上述解法是不严密的，疏漏了对分母为“零”这一陷阱的讨论，即在等比数列中的讨论，应补充如下几种情况：（1）当时，才有①的成立；（2）当时，，所以；（3）当时，，所以不存在！正确答案是M={0，1，}，符合题意的非空子集有7个，选D。例4.一个圆的直径的端点是A、，证明：圆的方程是：。证明：设为圆上的动点，由，得，即。剖析：学生的上述证法，欠缺缜密性，证明过程中应用斜率公式时疏漏了分母为“零”这一特殊情况，即在斜率问题处理上忽视了斜率不存在的情形，正确的证法应分两种情形或用向量法证明。陷阱三：有些数学命题在“涉零”情况中设立陷阱有些数学命题在“涉零”情况中设立“陷阱”，稍一疏忽，就会误入圈套，得出错误的结果，而一旦察觉，便会有恍然大悟之感。例5.二次方程的两根为，求的取值范围。误解：、是方程的两个根，且，，用心爱心专心所以，又因为，得。剖析：因题设已明确已知是二次方程，故，而当时，，所以正确答案应是：且。（该题应注意与例2严格区分，注意审题）陷阱四：因约分而在“涉零”情形中设立“陷阱”解题过程中在约分运算时隐藏着陷阱“零”，极易疏忽而得出错误的结果，失败的教训和终于醒悟的收获，给解题者深刻的印象。例6.判断函数的奇偶性。错解：因为，而是奇函数。所以是奇函数。剖析：得出错误的判断；是忽视了在约分时没有考虑所约因式是“零”的情况，从而造成其定义域区间关于原点对称，正确的判断为：f(x)为非奇非偶函数。“零”的情形防不胜防，极易出现错解或漏解，本文列举了几道高中数学中容易犯错的“零”的问题，希望能对同学们达到“长一智”的效果。用心爱心专心
