【与名师对话】2016版高考数学一轮复习3.7正弦定理、余弦定理的应用举例课时跟踪训练文一、选择题1．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.米B.米C.米D.米解析：作出示意图如图，由已知，在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝.在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30°，则BD＝AD·tan∠BAD＝·tan30°＝，∴BC＝CD－BD＝200－＝.答案：A2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.答案：B3．海上A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()1A．10海里B.海里C．5海里D．5海里解析：如图所示，在△ABC中，据正弦定理，可得＝，∴BC＝×10＝5(海里)，故选D.答案：D4．如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是()A．30°B．45°C．60°D．75°解析： AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500.在△CAD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝，∴∠CAD＝45°.故选B.答案：B5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，2在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．答案：C6．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析： tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)，故选C.答案：C二、填空题7．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．答案：308．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测3得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，由题意知，OA＝30，∠OAM＝45°，∠OAN＝30°，∠MON＝30°.在Rt△AOM中，OM＝OA·tan∠OAM＝30·tan45°＝30.在Rt△AON中，ON＝OA·tan∠OAN＝30·tan30°＝10.在△MON中，由余弦定理得MN＝＝＝＝10(m)．答案：109．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析：在三角形ABC中，AC＝100，在三角形MAC中，＝，解得MA＝100，在三角形MNA中，＝sin60°＝，故MN＝150，即山高MN为150m.答案：150三、解答题410．港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？解：在△BDC中，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－，∴sin∠CDB＝.∴sin∠ACD＝sin＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.在△ACD中，由正弦定理知＝⇒AD＝×21÷＝15.∴此时轮船距港口还有15海里．11．(2015·太原五中模拟)在以v千米/小时的速度向东航行的科学探测船上释放了一个探测热气球，气球顺风与船同向，以2千米/小时的速度沿与水平方向成60°直线方向向上飘去，2小时后测得探测...
