浙江省高考数学一轮复习 第四章 导数及其应用 补上一课 极值点的“偏移”问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

极值点的“偏移”问题知识拓展1.极值点“偏移”图示(左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0)(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0)(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0)2.极值点偏移问题的结论不一定总是x1＋x2＞(＜)2x0，也可能是x1x2＞(＜)x.题型突破题型一对称化构造法【例1】已知函数f(x)＝xe－x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，证明：当x＞1时，f(x)＞g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2.(1)解f′(x)＝e－x(1－x)，得f(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)有极大值f(1)＝，无极小值.(2)证明由g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，得g(x)的解析式为y＝f(2－x)，构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(1，＋∞)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，当x＞1时，x－1＞0，ex－2－e－x＞0，则F′(x)＞0，得F(x)在(1，＋∞)上单增，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x).(3)证明由f(x1)＝f(x2)，结合f(x)的单调性可设x1＜1＜x2，将x2代入(2)中不等式得f(x2)＞f(2－x2)，又f(x1)＝f(x2)，故f(x1)＞f(2－x2)，又x1＜1，2－x2＜1，f(x)在(－∞，1)上单增，故x1＞2－x2，x1＋x2＞2.规律方法用对称化构造的方法解决极值点偏移问题分为以下三步：(1)求导，获得f(x)的单调性，极值情况，作出f(x)的图象，由f(x1)＝f(x2)得x1，x2的取值范围(数形结合)；(2)构造辅助函数，对结论x1＋x2＞(＜)2x0，构造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2＞(＜)x，构造F(x)＝f(x)－f，求导，限定范围(x1或x2的范围)，判定符号，获得不等式；(3)代入x1(或x2)，利用f(x1)＝f(x2)及f(x)的单调性证明最终结论.【训练1】(2016·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点(a＞0).设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.证明由f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)，知f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，f(1)＝－e，由f(x1)＝f(x2)＝0，可设x1＜1＜x2.构造辅助函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′＝(x－1)(ex＋2a)－(x－1)(e2－x＋2a)＝(x－1)(ex－e2－x)，当x＜1时，x－1＜0，ex－e2－x＜0，则F′(x)＞0，得F(x)在(－∞，1)上单增，又F(1)＝0，故F(x)＜0(x＜1)，即f(x)＜f(2－x)(x＜1).将x1代入上述不等式中，得f(x1)＝f(x2)＜f(2－x1)，又x2＞1，2－x1＞1，f(x)在(1，＋∞)递增，故x2＜2－x1，x1＋x2＜2.题型二构造函数的选取【例2】已知函数f(x)＝ex－ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0.(1)求a的取值范围；(2)求证：x1＋x2＜2x0；(3)求证：x1＋x2＞2；(4)求证：x1x2＜1.(1)解f′(x)＝ex－a，若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单增，f(x)至多有1个零点，舍去；故必有a＞0，易得f(x)在(－∞，lna)上单减，在(lna，＋∞)上单增，要使f(x)有两个不同的零点，则有f(lna)＜0⇒a＞e(严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞).(2)证明由所证结论知这是f(x)的极值点偏移问题，选取函数f(x)来做，下面按对称化构造的三个步骤来写，其中x0＝lna.①由(1)知f(x)在(－∞，x0)上单减，在(x0，＋∞)上单增，可设x1＜x0＜x2；②构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，则F′(x)＝f′(x)－[f(2x0－x)]′＝ex＋e2x0－x－2a，当x＜x0时，有F′(x)＞2－2a＝0，则F(x)在(－∞，x0)上单增，得F(x)＜F(x0)＝0，即f(x)＜f(2x0－x)(x＜x0)；③将x1代入②中不等式得f(x1)＝f(x2)＜f(2x0－x1)，又x2＞x0，2x0－x1＞x0，f(x)在(x0，＋∞)上单增，故x2＜2x0－x1，x1＋x2＜2x0.(3)证明由所证结论可以看出，这已不再是f(x)的极值点偏移问题，谁的极值点会是x＝1呢？回到题设条件：f(x)＝ex－ax＝0⇒ex＝ax⇒a＝，记函数g(x)＝，则有g(x1)＝g(x2)＝a，求导得g′(x)＝，则x＝1是g(x)的极小值点，我们选取函数g(x)来证(3)中结论x1＋x2＞2，也可证(4)中结论x1x2＜1.①g(x)在(－∞，0)和(0，1)上单减，在(1，＋∞)上单增...