课时作业(六)平面向量[授课提示：对应学生用书第83页]1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得m＝－6，则m＝－6时，a＝(－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.答案：A2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD＝mBA＋nBC(m，n∈R)，则＝()A．－3B．－C.D．3解析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以mBA＋nBC＝CD＝EA＝EB＋BA＝－BC＋BA＝－BC＋BA，所以＝＝－3.答案：A3．(2017·湖南湘中名校联考)已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝()A．1B.C.D．2解析：因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，)·(x，－)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，)，|a|＝＝2，故选D.答案：D4．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝()A．1B.C.D．4解析： a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝＝.故选C.答案：C5．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝()A.B.C.D.解析：法一OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB是对角线向量BA，由已知可得，对角线相等，则平行四边形OADB为矩形．故OA⊥OB.因此OA·OB＝0，所以sinθ－cosθ＝0，所以锐角θ＝.法二OA＋OB＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA－OB＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.答案：C6．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则CD·CB＝()A．－B.C.D．－解析：依题意得|CD|＝，CD·AB＝0，CD·CB＝CD·(CA＋AB)＝CD·CA＋CD·AB＝CD·CA＝|CA|·|CD|·cos60°＝3××＝，故选B.答案：B7．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，则|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是()A.B.C.D.解析：法一因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.法二设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为，故选A.答案：A8．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0， AB－AC＝CB，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，故选A.答案：A9．(2017·湖南省五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则向量a，b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：设向量a，b的夹角为θ，BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，∴|BC|＝|b|＝2，|AB|＝2|a|＝2，∴|a|＝1，AC2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－，θ＝120°.答案：C10．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．b⊥(a－b)C．a⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)解析：由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．答案：B11．(2017·宝鸡市质量检测(一))在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|MN|＝，则BM·BN的取值范围为()A.B.C.D.解析：以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴...
