高中数学创设契机 强化讨论学法指导VIP专享VIP免费

高中数学创设契机强化讨论在分析问题和解决问题时，根据需要对研究对象进行分类，然后将每一类分析进行求解，综合后即得到答案。这就是分类讨论的思想方法。下面举例说明一种简便易行的方法：在原问题中适当引入参变量，使问题解决时产生分类的可能，由此强化分类讨论的思想意识。请看下面的例子：例1.已知函数fxxx()22。（1）求fxx()成立的x的集合；（2）求函数yfx()在区间［1，2］上的最小值。解：（1）由题意，当x2时，由xxx22解得：x0或x1当x2时，由xxx22解得：x12综上，所求解集为0112，，（2）因为xx2020，，且x12，所以当x2时，fx()的最小值为0。评注：例题1非常简单。对学生的思维训练没有太大的价值。如果将例1改造一下，就会得到05年江苏的一道高考题。例2.已知aR，函数fxxxa()2。（1）当a2时，求使fxx()成立的x的集合；（2）求函数yfx()在区间［1，2］上的最小值。分析：引入参变量a后，表面上，问题没有发生太大的变化。实质上，我们在这里创设了一个分类讨论的契机。显然，a的取值范围不同，函数的单调区间也会不同。因此，问题由具体变得抽象，有了深度，有了训练价值。变化后的题目不仅可以考查导数的应用和不等式的解法，而且对学生的运算能力、推理能力以及分类讨论的思想意识也进行了深度考查。这样的创设意味深长，令人深思！例2的参考答案：（1）参考例1。所求解集为0112，，。（2）设此最小值为m。①当a1时，在区间［1，2］上，fxxax()32因为fxxaxxxax'()323230122，，则fx()是区间［1，2］上的增函数所以mfa()11②当12a时，在区间［1，2］上，fxxxa()20由fa()0知，mfa()0③当a2时，在区间［1，2］上，fxaxx()23fxaxxxax'()233232若a3，在区间（1，2）上，fx'()0，则fx()是区间［1，2］上的增函数所以mfa()11若23a，则1232a用心爱心专心当123xa时，fx'()0，则fx()是区间123，a上的增函数当232ax时，fx'()0，则fx()是区间232a，上的减函数因此，当23a时，mfa()11或mfa()()242当273a时，421()aa故mfa()()242当733a时，421()aa故mfa()11当a3时，同样有ma1综上所述，所求函数的最小值maaaaaaa1101242273173，，，，()例3.已知x＝1是函数fxxxnx()3261的一个极值点，其中nR。（1）求n；（2）求fx()的单调区间。解：（1）fxxxn'()3122因为x1是fx()的一个极值点，所以由fx'()0得3120n，即n9（2）由（1）得：fxxx'()313令fx'()0，解得x3或x1因此，函数fx()的单调递增区间是，1和3，又令fx'()0，解得13x因此，函数fx()的单调递减区间是（1，3）。评注：本题利用导数求出了函数的单调区间。对于本例，学生解答起来自然是轻松愉快的。现在，把题目中的数据变换一下，会产生下面的例4。例4.已知x＝1是函数fxmxmxnx()32311的一个极值点，其中mnR，，m＜0。求：（1）m与n的关系表达式；（2）fx()的单调区间。分析：本例引入参变量m后，也就为考查分类讨论的思想方法创设了良好契机。题目增加了思考量，有了一定的难度。数学素质欠佳的学生不容易有条不紊地写出解答。这样，在学生掌握了例3的基础上再学习例4，学生的思维能力无疑会得到锻炼和提升，分类讨论的思想意识也得到了强化训练。例4的参考答案：（1）由f'()10，易得出nm36（2）由（1）知fxmxmxm'()361362用心爱心专心3112mxxm由于mfx0，()在，12m上单调递减，在121m，上单调递增，在1，上单调递减。从上述几例分析，我们不难看出，在习题学习中，灵活利用添加变量的方法对一些问题进行加工、整理和变形，就会创设出分类讨论的契机，就会使问题由浅入深，由具体变得抽象，使问题变得更加有训练价值。这样做，不仅有利于强化学生分类讨论的思想意识，而且更有利于培养和发展学生的思维能力。用心爱心专心