专题43空间向量及其运算1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点．∴AB∥CD.答案：B2．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.AE·BC
AE·CDD.AE·BC与AE·CD的大小不能比较解析：取BD的中点F，连接EF，则EFCD.因为AE⊥BC，〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉>90°.所以AE·BC＝0，AE·CD<0，因此AE·BC>AE·CD.答案：C3．O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点()A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断解析：∵OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1.所以P，A，B，C四点共面．答案：B4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．－1B.C.D.5．在空间四边形ABCD中，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c.则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案：B6．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．设M(x，y，z)∵点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.∴M，∴|MN|＝＝a.答案：A7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________．8．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案：60°9．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．10．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解：(1)∵c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)．(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.11．如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心．(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D.证明：(1)CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1，可以证明：CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，∴CG∥CA1，即A1，G，C三点共线．(2)设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C⊥平面BC1D.12．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1。解析：(1)∵P是C1D1的中点，∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b。(2)∵N是BC的中点，∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c。(3)∵M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋＝a＋b＋c。又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，∴MP＋NC1＝＋＝a＋b＋c。13．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值。14．如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°。(1)求OD的坐标；(2)设AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值。解析：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E。在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝。∴DE＝CDsin30°＝。OE＝OB－BDcos60°＝1－＝。∴D点坐标为，即OD的坐标为(0，－，)。(2)依题意，OA＝，OB＝(0，－1,0)，OC＝(0,1,0)，∴AD＝OD－OA＝，BC＝OC－OB＝(0,2,0)。设AD和BC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－。∴cosθ＝－。
