第4节二倍角公式考试要求掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.知识梳理二倍角公式sin2α＝2sin__αcos__α，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝.[常用结论与易错提醒]二倍角公式变形(1)升降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sinαcosα＝sin2α.(2)配方变形公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；1±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立.()(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同.()(3)在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立.()(4)不存在α，使tan2α＝2tanα.()解析当α＝0时，tan2α＝2tanα，(4)不正确，如α＝0.答案(1)√(2)√(3)√(4)×2.(2020·金华十校期末调研)已知x∈，sinx＝－，则tan2x＝()A.B.－C.D.－解析因为x∈，sinx＝－，所以cosx＝＝，tanx＝＝－，则tan2x＝＝－，故选D.答案D3.若α∈，则＋的值为()A.2cosB.－2cosC.2sinD.－2sin解析 α∈，∴≤≤，∴＋＝＋＝－－＝－2sin.答案D4.已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f的值为()A.B.－C.D.－解析 ＋＝，∴cos＝sin，∴f(x)＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝－sin2x，故f＝－sin＝－.答案B5.已知tan＝2，则cos2α的值是________.解析因为tan＝2，所以cos2α＝－sin＝－＝－＝－.答案－6.若sinθ＝－，tanθ＞0，则cosθ＝__________，tan2θ＝__________.解析由题意知，因为sinθ＜0，tanθ＞0，所以cosθ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，故cosθ＝－，又由tanθ＝＝，tan2θ＝，可知tan2θ＝.答案－考点一二倍角公式的正用【例1】(1)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.B.C.D.(2)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝()A.－B.－C.D.解析(1)由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈，所以2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，所以sinα＝.(2)sin2α＝2sinαcosα＝＝－.答案(1)B(2)A规律方法二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”.【训练1】(1)(一题多解)已知α为锐角，且tanα＝，则sin2α＝()A.B.C.D.(2)若cos2α＝2cos，α∈(0，π)，则sin2α＝________，tanα＝________.解析(1)法一sin2α＝＝＝＝，故选D.法二由α为锐角，且tanα＝，得sinα＝，cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，故选D.(2)cos2α＝2cos，α∈(0，π)，得cos2α－sin2α＝cosα－sinα，α∈(0，π)，即(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝(cosα－sinα)①，α∈(0，π)，当cosα－sinα＝0时，α＝；当cosα－sinα≠0时，①式化简为cosα＋sinα＝，α∈(0，π)，即sin＝1，α∈(0，π)，即α＝，综上所述，α＝，则sin2α＝sin＝1，tanα＝tan＝1.答案(1)D(2)11考点二二倍角公式的逆用【例2】(1)4cos50°－tan40°＝()A.B.C.D.2－1(2)cos20°cos40°cos60°cos80°＝________.解析(1)原式＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝，故选C.(2)原式＝cos20°cos40°··cos80°＝＝＝＝＝.答案(1)C(2)规律方法利用二倍角公式可对形如cosαcos2αcos4α…cos2nα的式子进行化简和计算.【训练2】(1)化简：＝________.(2)计算：＝________.解析(1)原式＝＝＝＝＝cos2α.(2)原式＝＝＝＝＝＝－4.答案(1)cos2α(2)－4考点三二倍角公式的变形应用【例3】化简下列各式(1)＋2的化简结果是________.(2)(0<α<π)＝________.解析(1)原式＝＋2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为π<4<π，所以cos4<0，且sin40，所以原式＝cosα.答案(1)－2sin4(2)cosα规律方法二倍角公式的常见变形有1－cos2α＝2sin2α，1＋cos2α＝2cos2α，1±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，及cos2α＝，sin2α＝，sinαcosα＝sin2α等.【训练3】求值：－sin10°.解原式＝－sin10°＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝＝＝＝＝.基础巩固题组一、选择题1.化简·的结果为()A.tanαB.tan2αC.1D.解析原式＝·＝＝tan2α.答案B2.若tanθ＝－，则cos2θ＝()A.－B.－C.D.解析tan...
