第4节数列求和1．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为()A．2019B．2016C．2017D．2018解析：A[an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2019.]2.＋＋＋…＋等于()A.B.C.D.解析：B[法一：令Sn＝＋＋＋…＋，①则Sn＝＋＋…＋＋，②①－②，得Sn＝＋＋＋…＋－＝－.∴Sn＝.故选B.法二：取n＝1时，＝，代入各选项验证可知选B.]3．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和为()A．4B．4C．1－D.－解析：A[由题意知an＝＋＋＋…＋＝＝，bn＝＝4，所以b1＋b2＋…＋bn＝4＋4＋…＋4＝4＝4.]4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400解析：B[S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]5．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则的前100项和为()A.B.C.D.解析：D[数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，∴an＋1－an＝1＋n，∴an－an－1＝n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，∴＝＝2，∴的前100项和2＝2＝，故选D.]6．(2019·聊城市一模)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2，若bn＝2an，则数列{bn}的前n项和Tn＝_________________________________________________________________.解析：∵Sn＝n2，①当n＝1时，S1＝a1＝1，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2，②由①－②可得an＝2n－1，当n＝1时也成立，∴an＝2n－1，∴bn＝2an＝2×4n－1，∴Tn＝＝(4n－1)．答案：(4n－1)7．数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.∴an＝令2n－5≤0，得n≤，∴当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝66.答案：668．数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案：(4n－1)9.(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得，解得故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．10．(2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．解：(1)设等比数列{bn}的公比为q，由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0，因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以，Tn＝＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d，由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4，由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n.所以Sn＝.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以n的值为4.
