第15讲曲线的切线1.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知曲线y=4x(x<0)的一条切线斜率为-4,则切点的横坐标为.2.(2018南京第一学期期中)若曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则实数a的值为.3.(2018苏州第一学期期中)已知曲线f(x)=ax3+lnx在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.4.(2018江苏南京模拟)如图,直线l经过点(0,1),且与曲线y=f(x)相切于点(a,3),若f'(a)=23,则实数a的值是.5.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.6.(2017江苏兴化一中月考)设函数f(x)=g(x)·x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为.7.(2018苏北四市第一次调研)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:xy=❑√3上的点P到直线l:x+❑√3y=0的距离的最小值为.8.(2018江苏南通模拟)已知函数f(x)=x3对应的曲线在点(ak,f(ak))(k∈N*)处的切线与x轴的交点为(ak+1,0),若a1=1,则f(3√a1)+f(3√a2)+…+f(3√a10)1-(23)10=.9.(2018江苏泰州中学高三月考)若曲线y=12ex2与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a的值为.10.(2018江苏如东高级中学高三上学期期中)已知a,b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,则a22+b的取值范围为.11.(2018江苏丹阳高级中学高三上学期期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(x1)f'(x2)的值为.12.(2018江苏泰兴阶段检测)已知直线x=x0与曲线C1:y=(ax-1)ex和曲线C2:y=(1-x)e-x分别相交于点A和B,且曲线C1在点A处的切线为l1,曲线C2在点B处的切线为l2.若存在x0∈[0,32],使得l1⊥l2,求实数a的取值范围.答案精解精析1.答案-1解析y'=-4x2=-4,x<0,解得x=-1,即切点的横坐标是-1.2.答案-2解析y'=-2(x-1)2,则当x=3时,y'=-12,由切线与直线ax+y+3=0垂直得-a=2,a=-2.3.答案13解析f'(x)=3ax2+1x,则f'(1)=3a+1=2,a=13.4.答案3解析由题意知,(a,3)为切点,所以该切线的斜率为f'(a)=23,又k=3-1a=23,得a=3.5.答案-3解析由曲线y=ax2+bx过点P(2,-5)可得-5=4a+b2①,又y'=2ax-bx2,所以在点P处的切线斜率4a-b4=-72②,联立①②解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.6.答案8解析由题意可得g(1)=3,g'(1)=2,又f'(x)=g'(x)x2+g(x)·2x,则f'(1)=g'(1)+g(1)·2=2+6=8,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为8.7.答案❑√3解析由y=❑√3x,得y'=-❑√3x2,令-❑√3x2=-1❑√3,则x=±❑√3,则点P(❑√3,1)或(-❑√3,-1)到直线l:x+❑√3y=0的距离最小,最小值为❑√3.8.答案3解析f'(x)=3x2,则曲线在点(ak,f(ak))(k∈N*)处的切线方程为y-ak3=3ak2(x-ak),令y=0,得ak+1=23ak,则数列{an}是等比数列,an=(23)n-1,则f(3√a1)+f(3√a2)+…+f(3√a10)1-(23)10=a1+a2+…+a101-(23)10=1-(23)10[1-(23)10](1-23)=3.9.答案1解析由题意可得{12es2=alns,1es=as,解得{s=❑√e,a=1.10.答案(0,12)解析由y'=1x+b=1,得x=1-b,则切点坐标是(1-b,0),代入y=x-a得a+b=1,则a22+b=a23-a,a∈(0,1),令f(a)=a23-a,a∈(0,1),则f'(a)=a(6-a)(3-a)2>0,f(a)在(0,1)上单调递增,所以a22+b∈(0,12).11.答案14解析曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线方程为y-x13=3x12(x-x1),与y=x3联立得x3-3x12x+2x13=(x-x1)2(x+2x1)=0,x2=-2x1,则f'(x2)=3x22=12x12,则f'(x1)f'(x2)=3x123x22=3x212x12=14.12.解析因为函数y=(ax-1)ex的导函数为y'=(ax+a-1)ex,函数y=(1-x)e-x的导函数为y'=(x-2)e-x,所以切线l1,l2的斜率分别是k1=(ax0+a-1)ex0和k2=(x0-2)e-x0.又由l1⊥l2得k1k2=(ax0+a-1)(x0-2)ex0·e-x0=(ax0+a-1)(x0-2)=-1,所以(ax0+a-1)(x0-2)=-1,x0∈[0,32]有解,即a=x0-3(x0-2)(x0+1),x0∈[0,32]有解,令x0-3=t,t∈[-3,-32],则a=t(t+1)(t+4)=1t+4t+5,t∈[-3,-32],因为t+4t∈[-133,-4],所以a∈[1,32].
