高中数学椭圆中的最值问题邓卫和函数的最值、值域问题是高二数学的一个热点问题，它常和其他数学知识结合，增加了题目的难度。本文就椭圆中的一些最值问题作一些简单的探讨。一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值例1.已知椭圆上的一动点P和一定点，试求线段|PA|的最小值。分析：如图1所示，P为椭圆上的点，则点P的坐标有一定的范围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a进行讨论。图1解：设点P（x，y）是椭圆上的一点，则由两点公式可知当，即时，x取，当，即时，x取，当，即时，，点评：这里字母a是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。例2.已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A（4，1），P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。分析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个用心爱心专心115号编辑性质求得最大值。图2解：设椭圆的右焦点为C则（当点P在线段AC的延长线上时取“=”），所以=。说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。二.利用椭圆的定义或几何性质求最值（取值范围）例3.已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范围。分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。图3解：由题设知设点，则有化简得由椭圆的几何性质知利用得，解得用心爱心专心115号编辑点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB达到最大。因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120°。练一练：直线总有公共点，试求m的取值范围。答案：用心爱心专心115号编辑
