圆锥曲线021.已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）（文）过点作直线交椭圆于另一点，求长度的最大值；（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点．证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点．【答案】解：（1）在椭圆中，由已知得1分过点和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：3分解得：；所以椭圆方程为4分（2）（文）设，则，，其中6分当时，取得最大值，所以长度的最大值为9分（3）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得11分设、，则，，因为以为直径的圆过点，所以，即，13分而=，所以，解得14分如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点．，即．所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点．16分2.设直线交椭圆于两点，交直线于点．（1）若为的中点，求证：；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．【答案】（1）解法一：设…………2分，………4分又……………7分解法二（点差法）：设，两式相减得即………………………………3分………………………………………………………………………7分（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．……9分证法一：由方程组…………………………………………………10分因为直线交椭圆于两点，所以，即，设、、则，……………………12分又因为，所以，故E为CD的中点．……………………………14分证法二：设则，两式相减得即………………………………………………………9分又，即……………………………………………………12分得，即为的中点．……………………………14分（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是．…………………16分3.设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点．（1）求数量积的取值范围；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．【答案】解：（1）由题意，可求得，．（1分）设，则有，（3分）（2分）所以，．（1分）（2）设直线的方程为，（1分）代入，整理得，（*）（2分）因为直线过椭圆的左焦点，所以方程*有两个不相等的实根．设，，中点为，则xyFQABlO，，．（2分）线段的垂直平分线的方程为．（1分）令，则．（2分）因为，所以．即点横坐标的取值范围为．（1分）4.已知椭圆的方程为，右焦点为，直线的倾斜角为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于两个不同点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）设直线的方程为，则有，得……………………………………3分又切点在轴的右侧，所以，……………………………2分所以直线的方程为…………………………………2分（2）设由得…………………………2分……………2分又，所以到直线的距离……2分所以的面积为……………1分4.如图，已知椭圆的左、右顶点分别为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．（1）设动点满足，求点的轨迹；（2）若，，求点的坐标．【答案】（1）由已知，，，…………（1分）设，……（2分）由，得，…（5分）xOMBNyATF·化简得，．所以动点的轨迹是直线．……（6分）（2）将和代入得，，……（1分）解得，……（2分）因为，，所以，．…………（3分）所以，．…………（4分）又因为，，所以直线的方程为，直线的方程为．……（5分）由，…………（6分）解得．…………（7分）所以点的坐标为．……（8分）5.某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。（1）求曲线的标准方程；（6分）（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）xBAyO【答...
