高考数学 专题11 导数的应用热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题11导数的应用1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热点。2．常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。3．题型主要以解答题为主，属中高档题。热点题型一判断或证明函数的单调性例1、【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.1【答案】A【变式探究】设a∈[－2,0]，已知函数f(x)＝证明f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增。解析：设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝x3－x2＋ax(x≥0)。①f′1(x)＝3x2－(a＋5)，由于a∈[－2,0]，从而当－1＜x≤0时，f′1(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，所以函数f1(x)在区间(－1,0]内单调递减。②f′2(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)。由于a∈[－2,0]，所以当0＜x＜1时，f′2(x)＜0；当x＞1时，f′2(x)＞0，即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增。综合①②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增。【提分秘籍】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数。【举一反三】已知函数f(x)＝x2－ex，试判断f(x)的单调性并给予证明。解析：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减，f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可。设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，当x＝ln2时，g′(x)＝0，当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0。∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2<0，∴f′(x)<0恒成立，∴f(x)在R上单调递减。热点题型二求函数的单调区间例2、【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.【答案】（Ⅰ）增区间是，，递减区间是.（Ⅱ）见解析；（III）见解析.（Ⅱ）证明：由，得，.令函数，则.由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.令函数，则.由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此，当时，，可得.所以，.（III）证明：对于任意的正整数，，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.【变式探究】已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间。解析：f′(x)＝x2＋2x＋a，二次方程x2＋2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a＝4(1－a)，若a≥1，则Δ≤0，f′(x)＝x2＋2x＋a≥0，∴f(x)在R上单调递增。若a＜1，则Δ＞0，方程x2＋2x＋a＝0有两个不同的实数根，x1＝－1－，x2＝－1＋，当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，单调递减区间为(－1－，－1＋)。【提分秘籍】求函数的单调区间的“两个方法”方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。【举一反三】设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)。(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值。(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x...