第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式[A基础达标]1．已知sin＝，则cos的值为()A.B.C.D.解析：选D.因为sin＝，所以cos＝cos＝1－2sin2＝.2．已知sinα＝，则cos4α－sin4α的值为()A．－B．－C.D.解析：选D.cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)·(cos2α－sin2α)＝cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.3．设－3π<α<－，化简的结果是()A．sinB．cosC．－cosD．－sin解析：选C.因为－3π<α<－，－<<－，所以＝＝＝－cos.4．已知cos＝－，则sin(－3π＋2α)＝()A.B．－C.D．－解析：选A.易得cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.又cos＝cos＝sin2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin2α＝－＝.故选A.5．化简·cos28°的结果为()A.B．sin28°C．2sin28°D．sin14°cos28°解析：选A.·cos28°＝×·cos28°＝tan28°·cos28°＝，故选A.6．已知sinα－2cosα＝0，则tan2α＝________．解析：由sinα－2cosα＝0，得tanα＝＝2，tan2α＝＝＝－.答案：－7．已知tanα＝－，则＝________．解析：＝＝＝tanα－＝－.答案：－8.＝________．解析：＝＝＝1.答案：19．已知sin2α＝，<α<，求sin4α，cos4α的值．解：由<α<，得<2α<π.因为sin2α＝，所以cos2α＝－＝－＝－.于是sin4α＝2sin2αcos2α＝2××＝－；cos4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.10．已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．解：原式＝＝.因为α为第二象限角，且sinα＝，所以sinα＋cosα≠0，cosα＝－，所以原式＝＝－.[B能力提升]11．已知tanx＝2，则tan等于()A.B．－C.D．－解析：选C.tan＝tan＝＝＝－＝－＝＝.12．已知θ∈，＋＝2，则sin＝________．解析：＋＝2⇒＝2⇒sinθ＋cosθ＝2sinθcosθ⇒1＋sin2θ＝2sin22θ，因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)，所以sin2θ＝－，所以sinθ＋cosθ<0，所以θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ＝，所以sin＝sin2θ·cos＋sincos2θ＝.答案：13．已知cos＝，≤α＜，求cos(2α＋)的值．解：因为≤α＜，所以≤α＋＜.因为cos>0，所以<α＋<.所以sin＝－＝－＝－.所以cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝.所以cos＝cos2α－sin2α＝×＝－.14．已知sin－2cos＝0.(1)求tanx的值；(2)求的值．解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，所以tan＝2，所以tanx＝＝＝－.(2)由(1)知tanx＝－，所以＝＝＝＝×＝×＝.[C拓展探究]15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30m.又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，所以∠CAD＝2θ，所以AD＝CD＝10m.所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin4θ＝10sin4θ(m)，在Rt△ACE中，AE＝AC·sin2θ＝30sin2θ(m)，所以10sin4θ＝30sin2θ，即20sin2θcos2θ＝30sin2θ，所以cos2θ＝，又2θ∈，所以2θ＝，所以θ＝，所以AE＝30sin＝15(m)，所以θ＝，建筑物AE的高为15m.
