高考数学二轮复习 规范滚动训练5 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题二～五规范滚动训练(五)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.解：(1)令f′(x)＝＋cosx＝0，即cosx＝－，解得x＝2kπ±π(k∈Z)．由xn是f(x)的第n个正极小值点知xn＝2nπ－π(n∈N*)．(2)由(1)可知Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，所以sinSn＝sin.因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以n(n＋1)一定为偶数，所以sinSn＝－sin.当n＝3m－2(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝－；当n＝3m－1(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝；当n＝3m(m∈N*)时，sinSn＝－sin2mπ＝0.综上，当n＝3m－2(m∈N*)sinSn＝－当n＝3m－1，(m∈N*)sinSn＝当n＝3m，(m∈N*)sinSn＝0.2．为了迎接国家卫生城市复审，创设干净整洁的城市环境，某高中要从高一、高二、高三三个年级推出的班级中分别选1个，组成“巩卫”小组，利用周末进行义务创城活动．其中高一推出3个班且标号分别为A1，A2，A3，高二推出2个班且标号分别为B1，B2，高三推出2个班且标号分别为C1，C2.(1)求A1被选中的概率；(2)求A1和C2不全被选中的概率．解：通解：组成“巩卫”小组的所有结果如下：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，共12种．(1)记“A1被选中”为事件E，则E包含的结果有：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，共4种，所以P(E)＝＝.(2)记事件M表示“A1和C2不全被选中”，则其对立事件表示“A1和C2全被选中”．由于事件包含(A1，B1，C2)，(A1，B2，C2)，共2种结果，所以P()＝＝.由对立事件的概率计算公式得P(M)＝1－P()＝1－＝.故A1和C2不全被选中的概率为.3．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，∠ABC＝60°，四边形BEFD是矩形，且BE＝BA，平面BEFD⊥平面ABCD.(1)求证：AE⊥CF；(2)若AB＝1，求该几何体的表面积．解：(1)法一：连接AC，记EC，EF，BD的中点分别为G，M，N，连接GM，GN，MN，则GM∥FC，GN∥AE，如图1.由题意，易证BE⊥AB，不妨设AB＝1，则GM＝GN＝，MN＝BE＝1，由勾股定理的逆定理知GM⊥GN.故AE⊥CF.法二：如图2，将原几何体补成直四棱柱，则依题意，其侧面ABEG为正方形，对角线AE，BG显然垂直，故AE⊥CF.(2)连接AC，根据题意易证AB⊥AC，BE⊥平面ABCD，易知BE＝AB＝CD＝DF＝1，BC＝AD＝2，AE＝CF＝，CE＝AF＝，EF＝BD＝，从而CE⊥CF，AE⊥AF.所以所求几何体的表面积S＝2×＋2×1×＝3＋＋.4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e为，过F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA·OB＝0.过点O作直线l2的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程．解：(1)由题意知4a＝8，∴a＝2.∵e＝，∴c＝1，b2＝3.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)∵OA·OB＝0，∴OA⊥OB.①若直线l2的斜率不存在，则点Q在x轴上．设点Q的坐标为(x0,0)，则A(x0，x0)，B(x0，－x0)．又∵A，B两点在椭圆C上，∴＋＝1，x＝.∴点Q的坐标为，即|OQ|＝.②若直线l2的斜率存在，设直线l2的方程为y＝kx＋m.由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.由Δ＞0得，m2＜3＋4k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.∴(k2＋1)－＋m2＝0.整理得7m2＝12(k2＋1)，满足m2＜3＋4k2.又由已知可得过原点O与直线l2垂直的直线方程为y＝－x，解方程组得点Q的横坐标与纵坐标分别为x＝－m，y＝m，∴x2＋y2＝m2＋m2＝＝，即|OQ|＝.综合(1)(2)可知，点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为的一个圆，且该圆的方程为x2＋y2＝.