高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性练习（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性A级基础巩固一、选择题1．下列函数中，周期为π的函数是()A．y＝2sinxB．y＝cosxC．y＝sinD．y＝cos解析：根据公式T＝可知函数y＝cos的最小正周期是T＝＝π.答案：D2．函数y＝cos是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数也是偶函数解析：由题意知y＝cos的定义域为R，且关于原点对称．因为y＝f(x)＝cos＝sin，所以f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)．所以y＝cos是奇函数．答案：A3．下列函数为奇函数的是()A．y＝B．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝ex－e－x解析：对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sinx|和y＝cosx为偶函数．答案：D4．(2019·惠州市调研)函数f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝()A.B．2C．1D.解析：因为f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2＝cos2ωx＋，ω>0，所以最小正周期T＝＝π，所以ω＝1.答案：C5．已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象()A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称解析：因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ，k∈Z.所以y＝cos(2x＋φ)＝cos＝cos.经验证可知，其图象关于点对称．答案：A二、填空题6．函数f(x)＝cos2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．解析：函数的定义域为R，f(－x)＝cos2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos2x＋1＝f(x)．故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．答案：y轴7．方程sinx＝的解的个数为________．解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合思想，转化为函数y＝sinx的图象与函数y＝图象的交点个数问题，借助图形直观求解．当x≥4π时，≥>1>sinx，此时两图象无交点；当0＝，从而当4π>x>0，有3个交点．由对称性知，当x<0时，有3个交点，加上x＝0处的交点，一共有7个交点．答案：78．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则ω的最大正整数值是________．解析：ω＝，因为T∈(1，3)，所以＜ω＜2π.所以ω的最大正整数值为6.答案：6三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝lg(sinx＋)；(2)f(x)＝sin.解：(1)因为1＋sin2x＞sin2x，所以＞|sinx|≥－sinx，所以sinx＋＞0，所以函数f(x)的定义域为R.f(－x)＝lg[sin(－x)＋]＝lg(－sinx＋)＝lg＝－lg(sinx＋)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)f(x)＝sin＝－cos，x∈R.又f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．10．函数f(x)满足f(x＋2)＝－.求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．证明：因为f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．B级能力提升1．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于()A．1B.C．0D．－解析：f＝f＝f＝sin＝.答案：B2．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为函数f(x)以2为周期，所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，且解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．答案：53．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．(1)y＝cos2x＋2sinx－2；(2)y＝－sin2x＋sinx＋；(3)y＝cos2x－sinx，x∈.解：(1)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值，ymin＝－(－1－1)2＝－4；当sinx＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值，ymax＝－(1－1)2＝0.(2)y＝－sin2x＋sinx＋＝－＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.(3)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－＋.因为－≤x≤，所以－≤sinx≤，所以当sinx＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sinx＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.