平面向量及应用温州八中林胜杰向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。【考点梳理】一、考试内容1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。4．平移及平移公式。二、考试要求1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2．掌握向量的加法与减法。3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。三、考点精析1．平面向量知识结构2．向量的概念用心爱心专心（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。（3）表示法①几何法：画有向线段表示，记为或a。②坐标法：=xi+yj=(x,y)；=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)3．向量的运算运算名称定义（法则）运算性质坐标运算加法运算a+b①a+b=b+a②(a+b)+c=a+(b+c)③a+0=0+a=a设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)减法运算a－b设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)实数与向量的积λa①λ>0时，λa与a同向，|λa|=λ|a|②λ<0时，λa与a反向，|λa|=－λ|a|③0·a=0①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb设a=(x,y)则λa=(λx,λy)平面向量的数量积a·ba·b=|a||b|cosθ(a≠0,b≠0,0≤θ≤π)①a·b=b·a②(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b）③(a+b)·c=a·c+b·c设a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a·b=x1x2+y1y24．定理与公式（1）共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa（2）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2（3）两个非零向量平行和垂直的充要条件：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)①a∥ba＝λbx1y2-x2y1=0②a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0（4）数值计算公式①两点间的距离公式：若a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|=；若设P1(),P2(x2,y2)，则||=②线段的定比分点坐标公式：用心爱心专心设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),=λ，则③中点坐标公式：设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)为P1P2的中点，则④两向量的夹角公式：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a，b的夹角为θ，则cosθ==⑤图形变换公式平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，则（6）有关结论①线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O是平面内任一点，则(+);②向量加法的多边形法则：有限个向量a1,a2,…,an相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1,=a2,…,=an,则向量即这些向量的和，即a1+a2+…+an=++…+=（向量加法的多边形法则）。当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。5．向量的应用（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用四、思想方法向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。【热点透视及命题趋向】本部分高考的热点是向量的概念、...
