专题8.3立体几何综合问题【三年高考】1.【2017课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.【解析】（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以，因为△PCD的面积为，所以，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱锥P-ABCD的体积.2.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【解析】（1）证明：取中点，连， ，为中点，∴，又 是等边三角形，∴，又 ，∴平面，平面，∴.（2）设，∴，，又 ，∴，∴，∴，又 ，，∴，在中，设，根据余弦定理，解得，∴点是的中点，则，∴.3.【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.4.【2016高考新课标1文数】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,则m,n所成角的正弦值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,故选A.5.【2016高考北京文数】如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.6.【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.(Ⅰ)求证：平面BED；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.（Ⅲ）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为7.【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.（I）证明G是AB的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．PABDCGE【解析】（I）因为在平面内的正投影为,所以因为在平面内的正投影为,所以所以平面,故又由已知可得,,从而是的中点.（II）在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.由（I）知,是的中点,所以在上,故由题设可得平面,平面,所以,因此由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得在等腰直角三角形中,可得所以四面体的体积8.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.9.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示...
