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新(全国甲卷)高考数学三轮增分练 高考大题纵横练(二)理-人教版高三全册数学试题VIP免费

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高考大题纵横练(二)1.(2016·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=bsinA.(1)求B;(2)若cosA=,求sinC的值.解(1)在△ABC中,由=,可得asinB=bsinA.又由asin2B=bsinA,得2asinBcosB=bsinA=asinB,所以cosB=,所以B=.(2)由cosA=,可得sinA=,则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin=sinA+cosA=.2.为了了解某校今年高三男生的身体状况,随机抽查了部分男生,将测得的他们的体重(单位:千克)数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,其中第2小组的频数为12.(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数;(2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据,若从全市高三男生中任选3人,设X表示体重超过55千克的学生人数,求X的均值.解(1)设该校随机抽查的部分男生的总人数为n,前3个小组的频率分别为P1、P2、P3,则解得因为P2=0.25=,所以n=48.故该校随机抽查的部分男生的总人数为48.(2)由(1)可得,一个男生体重超过55千克的概率为P=P3+(0.0375+0.0125)×5=.所以X~B(3,),所以P(X=k)=C()k()3-k,k=0,1,2,3.随机变量X的分布列为X0123P则E(X)=0×+1×+2×+3×=.(或E(X)=3×=)3.(2016·四川)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点,理由如下:因为AD∥BC,BC=AD.所以BC∥AM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB.所以CM∥平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,所以PA⊥平面ABCD,从而PA⊥BD.连接BM,因为AD∥BC,BC=AD,M为AD的中点,所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形,所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.4.(2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.当n=1时,a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d,由即解得所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1..又Tn=c1+c2+…+cn,得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×=-3n·2n+2.所以Tn=3n·2n+2.5.(2015·陕西)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)方法一由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=,从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|==,由|AB|=,得=,解得b2=3,故椭圆E的方程为+=1.方法二由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x+4y=4b2,x+4y=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率kAB==,因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0,所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2,于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=3,故椭圆E的方程为+=1.6.已知函数f(x)=alnx+bx2-(a+b)x.(...

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