26　菱　形2．62　菱形的判定VIP专享VIP免费

数学新课标（XJ）数学·八年级下册探究新知探究新知新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究课堂总结反思课堂总结反思2.6菱形2．6.2菱形的判定2.6菱形探究新知活动1知识准备(2)平行四边形的判定方法有：两组对边分别________的四边形是平行四边形；两组对边分别________的四边形是平行四边形；一组对边____________的四边形是平行四边形；两条对角线__________的四边形是平行四边形．平行相等平行且相等互相平分2.6菱形活动2教材导学菱形的判定1．如图2－6－6，在两根一长一短的细木条中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．(1)这个四边形是________四边形；(2)转动木条，将木条转到互相垂直的位置，如图2－6－7，这时邻边有什么关系？________(填“相等”或“不相等”)；(3)由此你可以判定这个四边形是______形．图2－6－6图2－6－7平行相等菱2.6菱形2．由上题你可以总结出一个什么结论？[答案]对角线互相垂直的平行四边形是菱形或对角线互相垂直平分的四边形是菱形．◆知识链接——[新知梳理]知识点二新知梳理2.6菱形知识点一菱形的判定方法1四条边__________的四边形是菱形．都相等2.6菱形知识点二菱形的判定方法2对角线互相____________的四边形是菱形，或者对角线互相________的平行四边形是菱形．垂直平分垂直重难互动探究2.6菱形探究问题一菱形的判定方法归类及应用例1如图2－6－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形．图2－6－82.6菱形[解析]思路一：可由四条边相等的四边形是菱形来证明．思路二：先利用角平分线的性质证明EC＝EH，再利用等腰三角形的性质证明CF＝CE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CFHE是平行四边形，最后由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明四边形CFHE是菱形．2.6菱形证明：方法一：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵EH⊥AB于点H，∴∠AHE＝∠ACB＝90°.又∵AE＝AE，∴△ACE≌△AHE，∴EC＝EH，AC＝AH.又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△AFC≌△AFH，∴FC＝FH.∵CD⊥AB于点D，∴∠2＋∠4＝∠1＋∠3＝90°.又∵∠2＝∠1，∠4＝∠5.∴∠5＝∠3，∴CF＝EC，∴EC＝EH＝FH＝FC，∴四边形CFHE是菱形．图2－6－242.6菱形方法二：∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，∴∠1＝∠2，EH＝EC.∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴EC＝CF，∴EH＝CF.∵EH⊥AB，CD⊥AB，∴EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形．又∵EH＝EC，∴四边形CFHE是菱形．2.6菱形[归纳总结]菱形的判定有四种方法：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．③判定定理2：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；④判定定理2的另一种表述：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2.6菱形探究问题二菱形的判定与性质的综合应用例2如图2－6－9，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.(1)求证：BD＝DF；(2)求证：四边形BDFG为菱形；图2－6－92.6菱形[归纳总结]常用的菱形的判定方法有四种：(1)直接证四条边相等；(2)证两条对角线互相垂直平分；(3)在平行四边形的基础上再证两邻边相等；(4)在平行四边形的基础上证两条对角线互相垂直．菱形性质的应用常与勾股定理、等腰三角形结合，将问题转化为解直角三角形，利用边角关系通过方程进行解答．2.6菱形[解析](1)先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BD＝FD；(2)由邻边相等可判断四边形BDFG是菱形；(3)设GF＝x，则AF＝13－x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．2.6菱形解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，∴BD＝12AC.∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BDFG是平行四边形．∵CF⊥BD，∴CF⊥AG.又∵D是AC的中点，∴DF＝12AC，∴BD＝DF.(2)证明：由(1)知四边形BDFG是平行四边形．又∵BD＝DF，∴四边形BDFG是菱形．课堂总结反思2.6菱形平行四边形互相垂直平分相等