专题四归纳与猜想规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数字、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，总结数字、式子、图形的变化规律，或分类归纳，或整体归纳，掌控一定的探索技巧．它体现了“从特殊到一般”的数学思想方法，考查学生分析、理解问题的能力，观察、联想、归纳的能力以及探究和创新的能力．题型可涉及填空、选择或解答．数字或代数式的猜想例1：(2012年广东珠海)观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×______＝______×25；②______×396＝693×______.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并证明．答案：(1)275①572②6336证明：∵左边＝(10a＋b)[100b＋10(a＋b)＋a]＝11(10a＋b)(10b＋a)，右边＝[100a＋10(a＋b)＋b](10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，∴左边＝右边，原等式成立．规律方法：做这种数字猜想题最好在草稿纸上按顺序排好每个数字，然后写多几个，找到规律就好办了．(2)(10a＋b)[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b](10b＋a)．几何图形中的猜想例2：(2012年广东广州)如图Z4－1，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB＝1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC＝2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD＝4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE＝8为直径画半圆，记为第4个半圆……按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的________倍，第n个半圆的面积为__________(结果保留π)．图Z4－1解析：根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1.则第4个半圆的面积：第3个半圆面积＝12π(12×16)2∶规律方法：对于图形找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．12π(12×8)2＝4.第n个半圆的面积为12π(12×2n－1)2＝π22n－5.答案：4π22n－5
