5从力做的功到向量的数量积VIP专享VIP免费

§5从力做的功到向量的数量积问:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角。位移SOAFθ一、向量数量积的物理背景)1800(两个非零向量和，作，ab,OAaOBb�180与反向abOABabOAa0与同向abOABabaBbbAOBab则叫做向量和的夹角．记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的二、两个向量的夹角如图,等边三角形ABC中,求：（1）AB与AC的夹角＿＿＿＿；（2）AB与BC的夹角________．ABC通过平移变成共起点！12060'CD012060120规定:零向量与任一向量的数量积为0。三、向量与的数量积的概念abcoscos,..,abababababab已知两个非零向量与他们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积）记作即注意注意：数量积a·b=|a||b|cosbaba，与实数表示数量而不表示向量表示向量；、不同，baba00a注意公式变形，知三求一.“·”不能省略不写，也不能写成“×”一种新的运算向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。a·b=|a||b|cos1.5,4,120.ababab例已知与的夹角，求cosabab解：54cos120154()102变式一045224428||||cos＝可得解：由baba的夹角与求，，，bababa284||4||OABbacosbaba的数量即有向线段的方向上的投影，在向量叫做向量１OBab1Bcosb数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.四、投影的概念投影的作图投影的作图::AOAOB|b|cos=b|b|cos0|b|cos0|b|cosb|b|cos0OAaBbθOAaBbθOAaBbθB1B1Bbaba||ababab当且仅当与同向时：ababab当且仅当与反向时：向量数量积的性质baba0)1(aaaaaa||||特别地2或||||)3(baba||||||||)2(babababababa反向时，与当；同向时，与当是非零向量、设ba平面向量的数量积的运算律：(1)(2)()()()(3)()abbaababababcacbc交换律数乘结合律分配律其中，cba、、是任意三个向量，R注：)()(cbacbaONM证明运算律(3)ababccababc向量、、在上的投影的数量分别是OM、MN、ON,则=ON=(OM+MN)=OM+MN=()abccccacbc例2：求证：222(1)()2abaabb22(2)()ababab）（21)))ababab（）证明：（（（()()abaabbaaabbabb222aabb例3、2)(3)abab求（。||6,||4,abab已知与60,o的夹角为解:(2)(3)abab6aaabbb226aabb22cos6aabb22664cos6064726,4,60.abababab已知与的夹角为，求和变式二2()abab解：222aabb226264cos6047621927ab同理可得.||3,||4,abkakbakb例4已知当且仅当为何值时，向量与互相垂直？解：akbakb与互相垂直的条件是akbakb（）（）=02220.akb即222239,416,ab29160.k34k3k=4akbakb因此，当时，与互相垂直.夹角的范围运算律性质数量积0(3)(a＋b)·c=a·c＋b·ca·a=|a|2（简写a2=|a|2）aaa||或重点知识回顾:cos||||baba(2))()()(bababa(1)a·b=b·a(交换律)(分配律)0abab...