时间序列分析方法讲义第11章向量自回归1第十一章向量自回归前一章我们讨论了向量随机过程的基本性质。本章我们将深入分析向量自回归模型，这种模型更适合于估计和预测。由于Sims(1980)年在经济中的出色运用，向量自回归模型在分析经济系统的动态性上得到了广泛的应用。§11.1无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验按照时间序列模型极大似然估计方法，我们首先分析向量自回归模型的条件似然估计。11.1.1向量自回归模型的条件似然函数假设ty表示一个包含时间t时n个变量的1n的向量。假设ty的动态过程可以由下面的p阶高斯向量自回归过程：ttt1t1εyΦyΦyΦcyppt22，)(~Ω0,εtN假设我们已经在)(pT个时间间隔中观测到这些n个变量的观测值。如同标量过程时的情形，最简单的方法是将前p个样本(表示为021,,,yyypp)做为条件，然后利用后面的T个样本(表示为Tyyy,,,21)形成参数估计。我们的目的是构造下面的条件似然函数：);(θy,y,y|y,,y,y1p1011TTY,Y,Y|Y,,Y,Y1p1011TTf这里参数向量为)(Ω,Φ,,Φ,Φc,θp21，我们在上述函数中相对于参数θ进行极大化。一般情形下，向量自回归模型是在条件似然函数基础上，而不是在无条件似然函数基础上进行估计的。为了简单起见，我们将上述“条件似然函数”称为“似然函数”，相应的“条件极大似然估计”称为“极大似然估计”。向量自回归与标量自回归过程的似然函数的计算方法是类似的。基于时刻1t以前观测值，时刻t的ty值等于常数向量：ptpttyΦyΦyΦc2211，加上一个多元正态分布的随机向量)(~Ω0,εtN，因此条件分布为：),(~|22ΩyΦyΦyΦcy,,yytt1t11ppptttN我们可以将上述条件分布表示成为更为紧凑的形式。假设向量tx是常数向量和ty滞后值向量构成的综合向量：),1(1pttty,,yx这是一个维数为]1)1[(np的列向量。假设Π表示下述)]1([npn维矩阵：],,,,[21pΦΦΦcΠ这时条件均值可以表示为txΠ，Π的第j行包含VAR模型第j个方程中的参数。使用这样的符号，我们可以把条件分布表示成为紧凑形式：),(~|ΩxΠy,,yy1tptttN因此第t个观测值的条件分布可以表示成为：)]())(2/1exp{(||)2();,|(12/112/21|11ttttnptttpttfxΠyΩxΠyΩθy,y,yy1Y,,Y,Y这是基于条件),,,{110pyyy的观测值从1到t的联合概率分布为：时间序列分析方法讲义第11章向量自回归2);();();(121110121110112121θy,y,y|yθy,y,y|y,,y,yθy,y,y|y,,y,y1p1p1011p1011Y,Y,Y|YY,Y,Y|Y,,Y,YY,Y,Y|Y,,Y,Yptttpttptttttttttfff连续叠代利用上述公式，可以获得全部样本11,,,yyyTT基于),,,{110pyyy的联合条件分布是单独条件密度函数的乘积：TtptttpTTtttTTff112111011);();(21θy,y,y|yθy,y,y|y,,y,y1p1p1011Y,Y,Y|YY,Y,Y|Y,,Y,Y因此，样本对数似然函数为：TtttttTtptttTTnfLttt1111121)()(21||log2)2log(2);(log)(21xΠyΩxΠyΩθy,y,y|yθ1pY,Y,Y|Y11.1.2Π的极大似然估计我们首先考虑Π的极大似然估计，它包含常数向量c和自回归系数jΦ。我们的结论是它可以利用下述公式给出：111)]1([?TtttTtttnpnxxxyΠ这可以当作ty基于常数和tx母体线性投影的样本估计，Π?的第j行是：111)]1(1[?TtttTttjtnpyjxxx这正是tjy基于常数和tx进行线性回归的普通最小二乘估计(OLS)的估计系数向量。因此，VAR模型第j个方程系数的极大似然估计可以从tjy基于常数项和该系统所有变量的p阶滞后变量进行线性回归得到的OLS估计获得。为了验证上述结论，我们将似然函数中的最后一项表示成为：111111()()????()()????[()][()]TtttttTtttttttttTtttttyΠxΩyΠxyΠxΠxΠxΩyΠxΠxΠxεΠΠxΩεΠΠx这里的1n向量tε?的第j个元素是从tjy基于常数和tx进行线性回归得到的观测值t的样本残差：tttxΠyε??进一步将上式化简为：TtttTtttTtttTttttt11111111)?()?()?(?2??])?(?[])?(?[xΠΠΩΠΠxxΠΠΩεεΩεxΠΠεΩxΠΠε时间序列分析方法讲义第11章向量自回归3考虑上式的中间项，由于这是一个标量，利用“迹算子”进行计算数值不改变：TtttTtttTtttTttt11111111?)?(trace?)?(trace)?(?trace)?(?εxΠΠΩεxΠΠΩxΠΠΩεxΠΠΩε注意到在线性回归中，普通最小二乘估计下的样本残差与解释变量是正交的，即对所有...
