极化恒等式速解一类平面向量问题极化恒等式是大学数学基础课程《泛函分析》（FunctionalAnalysis）中的知识，经过简单的变形就可转化为如下平面向量基本关系式，对于向量,abrr，通过恒等变形可得221()4aaabbbrrrrrr，再经过几何延伸，如图所示，对于平行四边形ABCD，满足22AABADOODuuuuruuuruuruuur，这样极化恒等式就将平面向量的数量积（也称为点积）关系转化为了两个平面向量的长度关系，使不可度量的向量数量积关系转化为可度量、可计算的数量关系，其意义不同凡响．若能借助于极化恒等式那就可以速解一类有关平面向量数量积的问题，下面分四类例析：一．数量积与线性问题例1．（2014杭州市摸拟试题）已知向量,ab满足231ab，则ab最大值为分析：此题主要是通过给出平面向量的线性条件，来求解平面向量数量积的最大值，问题设置简洁漂亮，但考生化解破费脑劲，原因是此题突破的思路看似很多，但走起来都要费一翻功夫，然后若能借助于平面向量的极化恒等式，那破解起来可谓事半功倍．解析1：（方程构造法）构造方程2223(23)24ababab则ab222(23)(23)1(23)12424242424ababab，当且仅当23ab，且14a时，上式等号成立．解法2：（不等式法）对于条件231ab，则有2249121abab，又因2230ab，则有224912abab，则12112abab，因此ab最大值为124解法3：（极化恒等式法）设2aOAuuur，3bOBuuur，取AB的中点为M，12OM，对于OAB，因BOA可以变化，当BOA趋向于0度时，MB趋向于0，而12OM，则23ab2211044OAOBOMMBuuuruuuruuuuruuur－-，因此ab最大值为124点评：破解此类问题，因涉及的路径入口较多，方法也是层出不穷．构造法和不等式法在破解时虽也是简洁明了，但因为要想到这类方法的突破口较为困难，对很多学生而言，理解尚可，掌握就较为困难了；而若能借助于极化恒等式，只要能画出线性图形，结合几何意义，问题的突破就有一种水到渠成的快感．二．数量积与三角形问题例2．（2013浙江，7）设ABC，0P是边AB上一定点，满足014PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPCuuuruuuruuuruuur，则（）A．090ABCB．090BACC．ABACD．ACBCABCDOOABM分析：此题若采用普通的方法，只能通过一个一个的检验，对不满足条件的情况进行排除，对满足条件的情况进行论证；而若能采用极化恒等式进行突破，结合三角形的特点，就可将问题转化为点到直线的距离最小问题，使复杂多变的几何问题变得单一和直观，破解效率当然大大提高解析：（函数法）选项,,ABC均可通过特殊值排除，而对于ACBC的情况，ABC为等腰三角形，点0P是底边的四分之一点，如图所示，014PBAB，00PBPCuuuruuur为PBPCuuuruuur的最小值，不妨作CMAB，∴AMMB；不妨设004,,1ABBPxMPPB，2MPx,根据向量数量积的定义，∴22(2)2(1)11PBPCxxxxxuuuruuur，当1x时，即P在0P处时，00PBPCuuuruuur为PBPCuuuruuur的最小值，因此有0000000cos1PBPCPBPCCPBPMPBuuuruuuruuuruuuruuuuruuur因此满足条件00PBPCPBPCuuuruuuruuuruuur．宜选D解析：（借助于极化恒等式）如图所示，设D为BC的中点，由极化恒等式得22PBPCPDBDuuuruuuruuuruuur，22000PBPCPDBDuuuruuuruuuuruuur，则由00PBPCPBPCuuuruuuruuuruuur，即220PDPD，得0PDPD，故0PDAB，所以有ACBC，宜选D点评：在三角形问题中运用极化恒等式，可使复杂问题简单化，综合问题单一化，抽象问题具体化，更便于考生化解和突破三、数量积与圆问题例3．已知过点0,1A，且斜率为k的直线l与圆C：222(3)1xy相交于,MN两点．求AMANuuuuruuur的值．分析：这类向量点积问题若采用普通方法也可以化解，即将平面向量问题坐标化突破求解，然而若能结合极化恒等式点积值的求解可事半功倍，运算速度可用极速形容．解析：（普通方法）设直线l与圆的交点为1122(,),(,)MxyNxy，则1122(,1),(,1)AMxyANxyuuuuruuur，由直线1ykx与圆222(3)1xy联立得2214(1)70kxkx，ACNyMOxGABCP0PMABCDP0P因此有12122274(1),11kxxxxkk，221212122124111kkyykxxkxxk，212122642()21kkyykxxk，因此可得121212()1AMANxxyyyyuuuuruuur222227124164217111kkkkkkk解析：（借助于极化恒等式）如图所示，取MN的中点为G，则CGMN，由极化恒等式可得22AMANAGMGuuuuruuuruuuruuuu...
