椭圆知识点及经典例题汇总VIP专享VIP免费

椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设)(2121FFPFPF，那么动点P的轨迹为线段21FF；假设)(2121FFPFPF，那么动点P的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；3.椭圆的参数方程)(sincos为参数byax注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质〔1〕对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。〔2〕范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。〔3〕顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。〔4〕离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。②因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，那么c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征〔如下列图〕：〔1〕)2(21aPFPF；ePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；)(21aBFBF；)(21cOFOF；2221baBABA；〔3〕caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；知识点四：椭圆第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率左准线caxl21:右准线caxl22:知识点五：椭圆的焦半径公式：〔左焦半径〕01exar〔右焦半径〕02exar其中e是离心率焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF〔其中21,FF分别是椭圆的下上焦点〕知识点六：直线与椭圆问题〔韦达定理的运用〕弦长公式：假设直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),,2211yxByxA（那么弦长221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx2121xxk2122124)(1xxxxk知识点七：椭圆12222byax与12222bxay)0(ba的区别和联系标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0,(1cF，)0,(2cF),0(1cF，),0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,(a，),0(b),0(a，)0,(b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率)10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF注意：椭圆12222byax，12222bxay)0(ba的一样点：形状、大小都一样；参数间的关系都有)0(ba和)10(eace，222cba；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不一样。规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,,恰...