第三章习题解1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。定义随机变量X，Y如下：0,1X若第一次取出的是正品，，若第一次取出的是次品。0,Y1若第二次取出的是正品，，若第二次取出的是次品。试分别就（1），（2）两种情况写出X，Y的联合分布律。解（1）放回抽样由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为105{0}126PX，第一次取出的是次品的概率为21{1}126PX同理，第二次取到正品的概率105{0}126PY第二次取到次品的概率为21{1}126PY由乘法公式得X，Y的联合分布率为{,}{|}{}{}{}PXiYjPYjXiPXiPXiPYj，0,1i，0,1j。具体地有5525{0,0}6636PXY，515{0,1}6636PXY，155{1,0}6636PXY，111{1,1}6636PXY用表格的形式表示为XY01012536536536136（2）不放回抽样5{0}6PX，1{1}6PX因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只正品）。所以9{0|0}11PYX，2{1|0}11PYX10{0|1}11PYX，1{1|1}11PYX则5945{0,0}61166PXY5210{0,1}61166PXY，11010{1,0}61166PXY，111{1,1}61166PXY用表格表示为XY01014566106610661662（1）盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律。（2）在（1）中求{}PXY，{2}PYX，{3}PXY，{3}PXY。解X可能的取值为0，1，2，3；Y的可能取值为0，1，2。{0,0}{}0PXYP（因为盒子里总共只有7只球，每次取4只球，而红球2只，故不可能白球和黑球同时都取不到）{0,1}{}0PXYP，220223471{0,2}35CCCPXYC{1,0}{}0PXYP1123226{1,1}3535CCCPXY。1213226{1,2}3535CCCPXY。22323{2,0}3535CCPXY21132212{2,1}3535CCCPXY，22323{2,2}3535CCPXY，31322{3,0}3535CCPXY，31322{3,1}3535CCPXY，{3,2}{}0PXYP其联合分布律为XY012301200335235063512352351356353350（2）{}{1,0}{2,1}{2,1}PXYPXYPXYPXY{3,0}{3,1}{3,2}PXYPXYPXY31222190035353535356{2}{0,0}{1,2}35PYXPXYPXY；{3}{3,0}{2,1}{1,2}PXYPXYPXYPXY2126204353535357。{3}{3,0}{2,1}{1,2}PXYPXYPXYPXY361102353535357。3设随机变量(,)XY的概率密度为(6),02,24(,)0,kxyxyfxy，其它.（1）确定常数k；（2）求{1,3}PXY；（3）求{1.5}PX；（4）{4}PXY。解由(,)1fxydxdxy得2402(,)(6)fxydxdxydxkxydy22420(6)2ykyxydx22200(62)(6)8kxdxkxxk令81k，得18k。（2）131{1,3}(6)8PXYdxxydy21313202011(6)(6)882ydxxydyyxydx12100171173()()828228xdxxx1.54021{1.5}{1.5,24}(6)8PXPXydxxydy1.521.5001112727(62)(6)888432xdxxx24021{4}(6)8xPXYdxxydy（积分区域为02x，24yx）22011(46)82xxdx3220111162(26)86833xxx。4设X，Y是非负的连续型随机变量，它们相互独立。（1）证明0{}()()XYPXYFxfxdx，其中()XFx是X的分布函数，()Yfy是Y的概率密度。（2）设X，Y相互独立，其概率密度分别为11,0,()0,.xXexfx其它，22,0,()0,.xYeyfy其它求{}PXY。解（1）因为X，Y是非负的连续型随机变量，且相互独立，所以(,)()()XYfxyfxfy，在区域(,)xxy内{}(,)()()XYxxyPXYfxydxdyfxdxfydy()[()]()[()()]XYxXYYfxFydxfxFFxdx()[1()]()()()XYXXYfxFxdxfxdxfxFxdx1()()1()(())XYYXfxFxdxFxdFx（分部积分）1()()()()YXXYFxFxFxfxdx()()XYFxfxdx（2）121212100{}[]xxxxxxPXYeedxeedx1212()()111001212xxedxe5设随机变量(,)XY具有分布函数1,0,0(,)0,xyeecxyFxy其它，求边缘分布函数。解当0x时()lim(,)lim(1)1xyxyxXyyFxFxyeeee其它情形()0XFx，即1,0,()0,xXexFx其它。同理当0y时()lim(,)lim(1)1xyxyyYxxFyFxyeeee其它情形()0YFy，即1,0,()0,yYeyFy其它。6将一枚硬币掷三次，以X表示前两次中出现H的次数，以Y表示3次中出现H的次数，求X，Y的联合分布律以及(,)XY的概率密度。解将一枚硬币掷三次，其H和T出现的情况为｛HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT｝X的取值为0,1，2，Y的取值为0，1,2，3则1{0,0}8PXY（TTT），1{0,1}8PXY（TTH）{0,2}0PXY，{0,3}0PXY{1,0}0PXY2{1,1}8PXY（HTT，THT）2{1,2}8PXY（HHT，THH）{1,3}0PXY1{2,0}8PXY{2,1}0PXY1{2,2}8PX...
