第3讲空间角[考情考向分析]以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．热点一异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形．(2)向量法：设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．设l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，则cosθ＝|a·b||a||b|＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|a21＋b21＋c21a22＋b22＋c22.例1(1)(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22答案C解析方法一如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝12＋1＋12＝5，B′B1＝12＋32＝2，DB1＝12＋12＋32＝5.在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B21＋DB21－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×25cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝55.故选C.方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，3)，B1(1,1，3)，∴AD1→＝(－1,0，3)，DB1→＝(1,1，3)，∴AD1→·DB1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2，|AD1→|＝2，|DB1→|＝5，∴cos〈AD1→，DB1→〉＝AD1→·DB1→|AD1→|·|DB1→|＝225＝55.故选C.(2)(2018·浙江省杭州二中月考)已知异面直线a，b所成的角为50°，过空间一定点P最多可作n条直线与直线a，b均成θ角，则下列判断不正确的是()A．当θ＝65°时，n＝3B．当n＝1时，θ只能为25°C．当θ＝30°时，n＝2D．当θ＝75°时，n＝4答案B解析将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线a，b平移到同一平面α内，使得点P为平移后的直线a′，b′的交点，则当0°≤θ<25°时，n＝0；当θ＝25°时，n＝1，此时该直线为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线；当25°<θ<65°时，n＝2，此时这两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线；当θ＝65°时，n＝3，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线a′，b′所成钝角的角平分线所在的直线；当65°<θ<90°时，n＝4，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线，另外两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成钝角的角平分线所在的直线；当θ＝90°时，n＝1，此时直线为过点P且与平面α垂直的直线．综上所述，B选项的说法错误，故选B.思维升华(1)运用几何法求异面直线所成的角一般是按找—证—求的步骤进行．(2)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|.跟踪演练1(2018·浙江省衢州二中模拟)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，动点P在线段OB上(不含端点)，记∠APC＝θ，现将△APC沿AP折起至△APC′，记异面直线BC′与AP所成的角为α，则下列结论一定成立的是()A．θ>αB．θ<αC．θ＋α>π2D．θ＋α<π2答案A解析设PC→＝λBC→，则cosθ＝|PA→·PC→||PA→||PC→|＝|PA→·λBC→||PA→||λBC→|＝|PA→·BC→||PA→||BC→|＝|PA→·BP→＋PC→||PA→|·|BP→|＋|PC→|，因为cosα＝|PA→·BC′→||PA→||BC′→|＝|PA→·BP→＋PC′→||PA→||BC′→|，且PA→·PC→＝PA→·PC′→，|BP→|＋|PC→|＝|BP→|＋|PC′→|>|BC′→|，所以cosθα，故选A.热点二直线与平面所成的角(1)几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形．(2)向量法：设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2，则sinθ＝|a·μ||a||μ|＝|cos〈a，μ〉|.例2(2018·浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中，平面DAE⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，四边形DCFE为菱形．已知AB∥CD，∠...
