1湖南大学数学分析一．（15分）设()fx在0,1上连续，证明：12200lim()(0).2hhfxdxfhx二．（15分）证明函数2,0()0,0xexfxx是无穷次可微函数.三．（15分）设2()1,2!!nnxxpxxnmx是21()0mpx的实根。求证：0mx，且有limmmx.四．（15分）设函数()fx满足条件：（1）(),();afxbaxb（2）()(),(,,).fxfyxyxyab设1,xab，并且定义序列{}nx：11[()](1,2,).2nnnxxfxn试证：limnnxx存在，且().fxx五．（15分）证明：若函数()fx在0,内可微，且'lim()0,xfx则()lim0.xfxx2六．（15分）设ln()1xpxfxx，讨论积分1()fxdx的敛散性。七．（10分）设函数列()nfx在区间,ab上满足Lipschtz条件，即()().,,.nfxfyCxyxyab其中nC为与,xy无关的常数。证明：如果nC为有界数列，而且在,ab上()nfx收敛于函数()fx，则()nfx在,ab上一致收敛于函数()fx.八．（15分）由方程2222222440xyzxyxyz所确定的函数(,)zzxy的极值.九．（10分）曲线L是xy平面上的任意闭曲线，L所围成的面积为S，且在曲线L上满足条件23.yxdyexydxexy试求yxLedxedy，其中L取逆时针方向.十．（15分）计算积分DIxydxdy，其中D是由1,0,0xyxy所围成的区域.十一．（15分）计算积分32222.SxdydzydzdxzdxdyIxyz其中S为任意光滑闭曲面.3湖南大学2006年数学分析一（16分）设()fx在0,内可微并且满足不等式20()ln(21)(1)(0,).fxxxxx证明：存在一点(0,)使得'221().121f二（16分）设,mn为自然数，计算积分10(ln)nmttdt.三（16分）设()fx在(,)上具有二阶导数且''()0,fx'lim()0xfx，'lim()0xfx,又存在一点0x，使0()0fx.证明方程()0fx在(,)上有且只有两个实根.四（16分）令na和n为正数数列，假设lim0nn，且在(0,1)中有一个数c使得对每个n有1nnnaca成立，证明：lim0.nna五．（16分）令()nfx为定义在(,)上的可导函数列，且存在常数0M，对所有的n和(,)x有'()nfxM成立.假设对(,)x，有lim()()nnfxgx，则()gx在(,)上连续.六（18分）已知22116nn.设221(),(01).nxfxxn求证当401x时有2()(1)(ln)ln(1)6fxfxxx.七（18分）1）若22222222()0(,)00xyxyxyxyfxyxy证明：(0,0)(0,0).xyyzff2）函数(,)zzxy由方程222()zxyzyfy确定，f是可微函数，证明222()22.zzxyzxyxzxy八（16分）在曲面2221xyz上求点0000(,,)Pxyz，且0000,0,0xyz使该点处曲面的切平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.九（18分）设()fu有连续的一阶导数，计算11()()xxfdydzfdzdxzdxdyyyxy其中是22fxz，228yxz所围成立体的外侧.5湖南大学2007数学分析一（18分）计算：（1）231lim;2nnkknnk（2）242(1)limln2222.nnnnnn二（16分）设21111,2(1),1,2,nnnpxxxxpnn，证明数列nx收敛.三（16分）设()fx在,ab上连续，在,ab内可导，且0ba，证明：存在,,ab使得22''()().3aabbff四（16分）确定下面函数的连续区间20ln(1)().yxgydxx五（16分）设()nfx在,ab上连续(1,2,)n，且()nfx在开区间(,)ab内一致收敛于()fx.证明()fx在闭区间,ab上一致收敛.六（18分）设()ft是0,1上的连续函数，令10(,)().Fxyftxytdt其中,xy满足221xy，求二阶偏导数xxF和yyF.七（16分）求函数22221111()arctanln22ln22arctan(1)arctan(1)24422xfxxxxxxxx关于x的幂级数展开式和收敛半径.6八（16分）计算积分()(ln()ln.2DxyxyyIdxdyxy其中区域D为0,1,xxyyx所围成的三角形区域.九（16分）设(,)fxy在区域:12,12Cxy上具有二阶连续偏导数，(1,1)0f，且在点(1,1)达到极值.又设22(,),(,),llfxyMxyGxy其中02l.取区域:01,01Dxy，试证：7(,).12DIfxydxdyM7湖南大学2008数学分析一（16分）设实数列nx满足20()nnxxn.证明1lim0.nnnxxn二（16分）设函数()fx在0,1内有定义，且有()xefx和()fxe为0,1内的单调递增函数.证明()fx在0,1内连续.三（16分）设函数()fx在0,1上可微，且令'01sup()xfxC证明，对任何正整数n，有1100(/)().2njfjnCfxdxnn四（16分）计算积分sincos.DyyIdxdyy其中D是由直线yx与抛物线2xy所围成的区域.五（16分）证明12221()21().Sfaxbyczdxdyufuabcdu其中2222:1,0Sxyab六（16分）求g，设221arctan1xgdxxx七（22分）设函数列nxnfxnxe，当参数取什么值时，有（1）函数列在闭区间0,1上一致收敛。8（2）10limnnfxdx可以积分号下取极限。八（16分）证明恒等式1011xnndxxn...
