特征值特征向量的应用1）求方阵的高次幂一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵A可以对角化,即存在可逆矩阵P使112(,,,)nPAPdiag.其中12,,,n是A的全部特征值.且1APP，则对任意正整数k有11111==kkkAPPPPPPPPPP（）（）.所以可通过A的相似对角阵来求An。例1作为计算矩阵高次幂的一个实例,考察如下问题:设某城市共有30万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:(1)在这30万就业人员中,目前约有15万人从事农业,9万人从事工业,6万人经商;(2)在从农人员中,每年约有20%改为从工,10%改为经商;(3)在从工人员中,每年约有20%改为从农,10%改为经商;(4)在从商人员中,每年约有10%改为从农,10%改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多之后,从事各业人员总数之发展趋势。解:若用3维向量Xi表示第i年后从事这三种职业的人员总数,则已知Xo=6915,而欲求X1,X2并考察在n→∞时Xn的发展趋势,引进3阶矩阵A=[aij]用以刻画从事这三种职业人员间的转移,例如:a23=0.1表明每年有10%的从工人员改去经商。于是有A=8.01.01.01.07.02.01.02.07.0,由矩阵乘法得X1=ATX0=AX0=2.79.199.12,X2=AX1=A2X0=04.823.1073.11所以Xn=AX1n=AnX0要分析Xn就要计算A的n次幂An,可先将A对角化即EA=8.01.01.01.07.02.01.02.07.0=(1-)(0.7-)(0.5-)特征值为1=1,2=0.7,3=0.5分别求出对应的特征向量q1,q2,q3并令Q=[q1,q2,q3],则有A=QBQ1从而有An=QBQ1,再由Xn=AnX0，B=5.00007.00001,Bnnn5.00007.00001可知n→∞时Bn将趋于000000001,故知An将趋于Q000000001Q1,因而Xn将趋于一确定常量X*,因而X1n亦必趋于X*,由Xn=AX1n知X*必满足X*=AX*,故X*是矩阵A属于特征值1=1的特征向量,X*=111t=ttt,t+t+t=3=30,t=10,照次规律转移,多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等,均为10万人。2求方阵A的多项式的行列式的值设n阶方阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使1kkAPP,其中12(,,,)ndiag，12,,,n是A的全部特征值.因此对方阵A的多项式10()mmfAaAaAaE，有110()()mmfAPaaaEP.即11010()()mmmmfAaAaAaEPaaaEP1012((),(),,())mmnaaaEdiagfff12()()()nfff.例1设n阶实对称矩阵A满足A2=A,且A的秩为r,试求行列式的值。解:设AX=X,X≠0,是对应于特征值的特征向量,因为A2=A,则X=AX=A2X=2X,从而有(2-)X=0,因为X≠0所以(-1)=0,即=1或0,又因为A是实对称矩阵,所以A相似于对角矩阵,A的秩为r,故存在可逆矩阵P,使得P1AP=000rE=B,其中Er是r阶单位矩阵,从而AE2=112PBPPP=BE2=2rn3由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵A可对角化,即存在可逆矩阵P使P1AP=B,其中B为对角矩阵,则A=PBP1例1设3阶实对称矩阵A的特征值为1=-1,2=3=1,对应于1的特征向量为P1=110,求矩阵A。解:因为A是实对称矩阵,所以A可以对角化,即A有三个线性无关的特征向量,设对应于2=3=1的特征向量为P=321xxx,它应与特征向量P1正交,即[P,P1]=0X1+X2+X3=0,该齐次方程组的基础解系为P2=001,P3=110,它们即是对应于2=3=1的特征向量。取P=(P1,P2,P3)=101101010,B=100010001则P1AP=B,于是A=PBP1=1011010101000100012/12/100012/12/10=0101000014判断矩阵是否相似例1下述矩阵是否相似A1=300020002,A2=300120012,A3=300020102解:矩阵A1,A2,A3的特征值都是1=2(二重),2=3,其中A1已是对角阵,所以只需判断A2,A3是否可对角化先考查A2,,对于特征值1=2,解齐次线性方程组(2E-A2)X=0得其基础解系为α1=001,由于1=2是A2的二重特征值,却只对应于一个特征向量,故A2不可对角化或者说A2与A1不相似。再考查A3,对于特征值1=2,解齐次线性方程组(2E-A3,)X=0得基础解系;对于特征值2=3解齐次线性方程组(3E-A3,)X=0,得基础解系由于A3,有三个线性无关的特征向量,所以A3,可对角化,即A3,与A1相似。5求特殊矩阵的特征值例1设A为阶实对称矩阵,且A2=2A,又r(A)=r
