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实用标准文案精彩文档第二章静电场1.一个半径为R的电介质球，极化强度为2/rKrP，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）Pp2222/)]/1()/1[()/(rKrrKrKrrr)(12PPnpRKRrr/Pe（2）)/(00PPED内200)/()/(rKfPD内（3）)/(/0PDE内内rrfrKRrVeeDE200200)(4d外外rKRr)(d00rE外外)(lndd00rRKRRrrErE外内内（4）RRrrrRKrrrKVW42200222022202d4)(21d4)(21d21ED200))(1(2KR2.在均匀外电场中置入半径为0R的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0；（2）导体球上带总电荷Q解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0RR时，电势满足拉普拉斯方程，通解为nnnnnnPRbRa)(cos)(1因为无穷远处0EE，)(coscos10000RPERE所以00a，01Ea，)2(,0nan当0RR时，0所以0101000)(cos)(cosnnnnPRbPRE即：002010000/,/RERbRb实用标准文案精彩文档所以)2(,0,),(30010000nbREbRbn)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE（2）设球体待定电势为0，同理可得)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE当0RR时，由题意，金属球带电量Qddsin)cos2cos(d2000000000RERESnQRR)(40000R所以00004/)(RQ)(4/)(cos)/(4/cos00002300000RRRQRRRRERQRE3.均匀介质球的中心置一点电荷fQ，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：）（）（内cos1nnnnnnPRbRa）（）（外cos1nnnnnnPRdRc当R时，0外，0nc。当0R时，内为有限，0nb。所以）（内cosnnnnPRa，）（外cos1nnnnPRd由于球对称性，电势只与R有关，所以)1(,0nan)1(,0ndn0a内，Rd/0外所以空间各点电势可写成RQaf40内RQRdf40外当0RR时，由外内得：000/Rda实用标准文案精彩文档由nn外内0得：20002002044RdRQRQff，)11(400fQd则)11(4000RQaf所以）（内114400RQRQff）（外11440RQRQffRQf04（二）应用高斯定理在球外，R>R0，由高斯定理得：fpfQQQQd总外sE0，（整个导体球的束缚电荷0pQ），所以rfRQeE204外，积分后得：RQdRRQdfRRf02044RE外外在球内，R