等腰直角三角形模型、三垂直模型VIP免费

实用标准文案精彩文档45°45°CBADCBA题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或904545°，，）.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；⑶补全为正方形.如图3，4.图1图2图3图4全等三角形的经典模型（一）ABCOMNABCOMN典题精练【例1】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，90BAC°，O为BC的中点，⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】⑴OA=OB=OC⑵连接OA, OA=OC45BAOC°AN=CM∴△ANO≌△CMO∴ON=OM∴NOAMOC∴90NOABONMOCBON∴90NOM∴△OMN是等腰直角三角形⑶△ONM依然为等腰直角三角形，证明： ∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，∴AO=BO=OC， 在△ANO和△CMO中，ANCMBAOCAOCO∴△ANO≌△CMO（SAS）∴ON=OM，∠AON=∠COM，又 ∠COM∠AOM=90°，∴△OMN为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，,,EAC三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断EMC△的形状，并说明理由．【解析】EMC△是等腰直角三角形．证明：连接AM．由题意，得,90,90.DEACDAEBACDAB∴DAB△为等腰直角三角形. DMMB，MEDCBAABCOMNMEDCBA实用标准文案精彩文档FEDCBANM12ABCDEF3M12ABCDEF3∴,45MAMBDMMDAMAB．∴105MDEMAC，∴EDM△≌CAM△．∴,EMMCDMEAMC．又90EMCEMAAMCEMADME．∴CMEM，∴EMC△是等腰直角三角形．【例3】已知：如图，ABC△中，ABAC，90BAC°，D是AC的中点，AFBD于E，交BC于F，连接DF．求证：ADBCDF．【解析】证法一：如图，过点A作ANBC于N，交BD于M． ABAC，90BAC°，∴345DAM°． 45C°，∴3C． AFBD，∴190BAE° 90BAC°，∴290BAE°．∴12．在ABM△和CAF△中，123ABACC∴ABMCAF△≌△．∴AMCF．在ADM△和CDF△中，ADCDDAMCAMCF∴ADMCDF△≌△．∴ADBCDF．证法二：如图，作CMAC交AF的延长线于M． AFBD，∴3290°， 90BAC°，∴1290°，∴13．在ACM△和BAD△中，1390ACABACMBAD°∴ACMBAD△≌△．∴MADB，ADCM ADDC，∴CMCD．在CMF△和CDF△中，PCBAPCBAD45CFCFMCFDCFCMCD°∴CMFCDF△≌△．∴MCDF∴ADBCDF．【例4】如图，等腰直角ABC△中，90ACBCACB，°，P为ABC△内部一点，满足PBPCAPAC，，求证：15BCP．【解析】补全正方形ACBD，连接DP，易证ADP△是等边三角形，60DAP，45BAD，∴15BAP，30PAC，∴75ACP，∴15BCP．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．21NFABCDMEEMDCBA【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N， AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，实用标准文案精彩文档 M为AC中点，∴CM=CN， ∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，∴∠CND=∠CMD，∴∠AMB=∠CMD．【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．ABCDEFNMKHMNFEDCBA【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K， AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK，∴∠ADB=∠CKN，CK=AD， AD=EC，∴CK=CE，易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4...