浅谈做数学题不要“做完就完”VIP专享VIP免费

浅谈做数学题不要“做完就完”江苏省如东县大豫镇初级中学陈耀做数学题不要“做完就完”，一道题目做完了，其实还有很多可以再思考的内容。〖例1〗将六个数字1，1，2，2，3，3排成一排，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有3个数字。此题的解决并不困难，我们可以采用枚举法。因为两个1之间有一个数字，这个数字只有2或3两种可能。如果两个1之间是2，可以排出三个数字：121，这时左右两侧只能是两个3，即排出了五个数字：31213，还剩下一个2，可以放在左侧或右侧，于是得到本题的两个答案：231213、312132；如果两个l之间是3，可以排出三个数字：131，这时就只能在左侧右侧写2，即2131或1312，而另一个2就无处可放了，这说明两个1之间不能是3。所以本题的答案只能是：231213和312132。题目做完了，我们可以进一步想，如果把本题的六个数改为八个数，即：1，1，2，2，3，3，4，4，将这八个数排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?利用前面的方法我们可以很快得到答案：23421314和41312432。再进一步想，如果将数字增加为十个，即：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，将这十个数字排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?这次，经过反复试验，无论我们如何努力也排不出来。这个例子给我们的启示是：也许对于1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这十个数来说，上面规定的方法根本就不存在。那么，如何去证明这种排法不存在呢?我们采用“染色”法证明。将这十个数所应占的十个位置进行黑白相间染色。黑色位置和白色位置各占5个。根据题意，每对奇数（如1，1）之间要有奇数个数，每对偶数（如2，2）之间要有偶数个数，则每对奇数所占的位置应为相同颜色的两个位置，而每对偶数所占的位置则为不同颜色的两个位置。一共有两对共4个偶数，要占据2个黑色位置和2个白色位置。剩下的三对共6个奇数，要么占6个黑色位置；要么占4个黑色位置和2个白色位置；要么占2个黑色位置和4个白色位置；要么占6个白色位置。于是，如果满足题设的要求，则共需要8个黑色位置和2个白色位置；或者6个黑色位置和4个白色位置；或者4个黑色位置和6个白色位置；或者2个黑色位置和8个白色位置。这与黑色位置和白色位置各占5个相矛盾，故满足题设的排法不存在。问题得到了解答。然而，新的问题又一次出现在我们面前，即这种排法有时存在，第1页共3页有时不存在，我们不禁要思考，对于2n个数：1，1，2，2，3，3，……，n，n，当n满足什么条件时，这样的排法存在；当n满足什么条件时，这样的排法不存在呢?我们仍然采用“染色”法来解决这个问题。把n分为偶数和奇数两种情况分别讨论：1．当n为偶数时，这时有n个黑色位置和n个白色位置，有n/2对偶数和n/2对奇数。根据上面的讨论，n/2对偶数将占据n/2个黑色位置和个n/2白色位置，这样就剩下n/2对奇数，以及n/2个黑色位置和n/2个白色位置，由于每对奇数需要占据相同颜色的两个位置，因此，剩下的n/2个黑色位置和n/2个白色位置就必须是偶数个，即n/2必须是偶数，这说明n必须是4的倍数。至此，我们可以得出这样的结论，当n为偶数时，只有n是4的倍数时，才能将这2n个数排成两个几之间就有几个数的一排来。2．当n为奇数时，这时有n个黑色位置和n个白色位置，偶数有(n-1)/2对，奇数有(n-1)/2对，(n-1)/2对偶数将占据(n-1)/2个黑色位置和(n-1)/2个白色位置，这样就剩下(n+1)/2对奇数，以及(n+2)/2个黑色位置和(n+1)/2个白色位置。由于每对奇数需要占据相同颜色的两个位置，因此，剩下的(n+1)/2个黑色位置和(n+1)/2个白色位置就必须是偶数个，即(n+1)/2必须是偶数，这说明n+1必须是4的倍，或者说n是被4除余3的数。至此，我们可以得出这样的结论：当n为奇数时，只有n是被4除余3的数时，才能将这2n个数排成两个几之间就有几个数的一排来。综合以上分析，我们可以得出如下结论：对于2n个数：1，1，2，2，3，3，……，n，n，当n为4的倍数或者是被4除余3的自然数时，这2n个数就可以排成一排，使得两个几之间就有几个数。例如，当n=7时，排法为：73161345726425或52462754316137，当n=8时，排法为：6274258643751318或8131573468524726。数学问题的解决...