下载后可任意编辑克莱因（），德国数学家、数学史家和数学教育家，克莱因在年就提出应把拓扑学进展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在世纪获得了飞跃的进展，并成为现代数学的核心．他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作为世纪的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪．17．实数人类对数的认识是在生活中不断加深和进展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系进展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和进展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系进展到实数，这是数系的第二次扩张．理解无理数是学好实数的关键，为此应注意：1．把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式（这里、是互质的整数，且）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与相关的数，开方开不尽得到的数等；3．澄清一些模糊认识；4．明确无理数的真实性．问题解决例1已知实数、满足，则代数式的值为________．试一试运用非负数性质，求出，值．例2下面有个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（）个．A．B．C．D．试一试看是否能构造出符合要求的数．例3若实数、、满足关系式，试确定的值．试一试观察发现、互为相反数，由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口．例4设、都是有理数，且满足方程，求的值．试一试将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的、的值．例5设，，，…，．求的值（用含的代数式表示，其中为正整数）．解法一：，，，．原式下载后可任意编辑．解法二：，，原式．本质追寻：设实数，，满足，且，则或．问题新编：化简（为正整数）．寻找公元前世纪，古希腊人点燃的无理数的火种，照亮了实数的宽阔天地，但人类很久不能分享这甘美的“人类智慧之果”．直到世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯·戴德金、康托的杰出贡献，为无理数、实数理论的建立打下坚实的基础．例6（1）可以用有理数形式表示如下：（2）纸是人们学习工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢？印刷厂工人把一张长方形的标准纸（如图①），对折次，分为两半，每一张都是原来的，称为对开（即开）；对折次，得张，每一张都是原来的，称为开；对折次，得张，每一张都是原来的，称为开……对折次，得张，每一张都是原来的，称为开．一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件：①它的面积为；②经过若干次对开，所得各种大小不同的长方形形状都相同（即长和宽之比都相等）．这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少呢？（精确到毫米）用列方程组的方法，设标准纸长为米，宽为米（如图②），则它的长与宽之比为，对开后的长与宽之比为．于是，由条件②，得，即．①另一方面，因为与都大于零，且由条件①可得，所以．②×①②，可得，即．所以代入②，得（米）．下载后可任意编辑由此可见，国际标准纸的长为毫米，宽为毫米，面积为平方米，长与宽之比为我国开用的标准纸长为毫米，宽为毫米，面积为（平方米）平方米，长与宽之比为．这就是说，我国开用的标准纸与国际标准纸是相符的．图①2K4K8K16K32K图②yx12x（3）正难则反：请证明为无理数．数学冲浪知识技能广场1．已知、为两个连续的整数，且，则________．2．实数、在数轴上的位置如图所示：0ba，化简______．3．已知，则的值为________．4．观察下列等式：，，，对于一般的自然数，将有等式_______．5．如图，数轴上表示、的对应点分别为、，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（）．21?OCBAA．B．C．D．6．若，为实数，且，则的值为（）．A．B．C．D．7．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）A．B．C．D．8．若，则的值为（）．A．B．C．D．9．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出个有理数和个无理数，再用“+，-，×，÷”中的种符号将选出的个数进行次运算，使得运算的...
