下载后可任意编辑克莱因（），德国数学家、数学史家和数学教育家，克莱因在年就提出应把拓扑学进展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在世纪获得了飞跃的进展，并成为现代数学的核心．他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作为世纪的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪．17．实数人类对数的认识是在生活中不断加深和进展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系进展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和进展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系进展到实数，这是数系的第二次扩张．理解无理数是学好实数的关键，为此应注意：1．把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式（这里、是互质的整数，且）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与相关的数，开方开不尽得到的数等；3．澄清一些模糊认识；4．明确无理数的真实性．问题解决例1已知实数、满足，则代数式的值为________．试一试运用非负数性质，求出，值．例2下面有个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（）个．A．B．C．D．试一试看是否能构造出符合要求的数．例3若实数、、满足关系式，试确定的值．试一试观察发现、互为相反数，由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口．例4设、都是有理数，且满足方程，求的值．试一试将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的、的值．例5设，，，…，．求的值（用含的代数式表示，其中为正整数）．解法一：，，，．原式下载后可任意编辑．解法二：，，原式．本质追寻：设实数，，满足，且，则或．问题新编：化简（为正整数）．寻找公元前世纪，古希腊
