【创新设计】-版高中数学1.2.2.2异面直线所成角同步训练苏教版必修21.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则异面直线AC与A1B1所成的角为________.解析 过点A的直线AB∥A1B1,∴异面直线AC与A1B1所成的角,即为相交直线AC与AB所成的角,并且易知AC与AB所成的角为45°.因此,也可知异面直线AC与A1B1所成的角为45°.答案45°2.若两条异面直线所成的角为60°“”,则称这对异面直线为理想异面直线对,在连“”结正方体各顶点的所有直线中,理想异面直线对的对数为________对.解析如图,在连接正方体各顶点的所有直线中,只有相邻面上的面对角线才能构成“”理想异面直线对,并且只有2“”对,则所有的理想异面直线对的对数为4×2×2(上下面与四个相邻侧面的对数)+4×2(四个侧面的对数)=24(对).故填24.答案243.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B1与BC所成的角为________.解析异面直线A1B1与BC所成的角,即为相交直线AB与BC所成的角. AB与BC所成的角为90°.∴异面直线A1B1与BC所成的角也为90°.答案90°4.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中:(1)BC′与CD′所成的角为________;(2)AD与BC′所成的角为________.解析连接BA′,则BA′∥CD′,连接A′C′,则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角.由△A′BC′为正三角形,知∠A′BC′=60°,由AD∥BC,知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC=45°.答案(1)60°(2)45°5.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________.解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案①③6.如图,已知不共面的直线a,b,c相交于点O,M、P是直线a上两点,N、Q分别是b,c上的点.求证:MN和PQ是异面直线.证明假设MN和PQ不是异面直线,则MN与PQ在同一平面内,设为α. M、P∈α,M、P∈a,∴a⊂α. O∈α,N∈α且O∈b,N∈b,∴b⊂α.同理c⊂α,∴a,b,c共面于α,与a、b、c不共面矛盾.∴MN、PQ是异面直线.7.A是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB,CD的中点.若EF=AD,则异面直线AD与BC所成的角为________.解析如图所示,设G是AC的中点,连结GE,FG. E,F分别是AB,CD的中点,∴FG∥AD且FG=AD,EG∥BC且EG=BC.∴GE与GF所成的锐角(或直角)为AD与BC所成的角. AD=BC,∴EG=FG=AD.又 EF=AD,则在△EFG中,EG2=AD2,FG2=AD2,EF2=AD2,∴EF2=EG2+FG2.∴∠EGF=90°,即AD与BC所成的角为90°.答案90°8.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.答案90°9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于________.解析延长CA至点M,使AM=CA,则A1M∥C1A,∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角,连结BM,易知△BMA1为等边三角形,因此,异面直线BA1与AC1所成的角为60°.答案60°10.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值.解析因为C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角或其补角.因为A1B1⊥平面BCC1B1,所以∠A1B1M=90°.而A1B1=1,B1M==,故tan∠MA1B1==.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.答案11.在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角.解取AB,CD,AD的中点E,G,F,连接EF,FG,GE,则∠EFG(或其补角)为BD与AC所成的角,且EF=BD=,FG=AC=.再取AC的中点H,连接EH、HG,则EH∥BC,HG∥AD.EH=BC=,HG=AD=. AD⊥BC,∴EH⊥HG,∴EG2=EH2+HG2=1.在△EFG中,EG2=EF2+FG2=1,∴∠EFG=90°,∴AC与BD所成的角为90°.12.已知正四棱锥S-ABCD(底面为正方形,顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等,E为SB的中点,求AE、SD所成角的余弦值.解如图所示,连接AC、BD,设其交点为O,连接EO,依题意,EO綉SD,∴...