【创新设计】-版高中数学1.3.1空间几何体的表面积同步训练苏教版必修21．一个正四棱柱的对角线的长是9cm，全面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.解析设底面边长、侧棱长分别为acm、lcm，∴∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)．答案1122．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．解析S＝3π2＋2·π·()2＝3π2＋π或S＝3π2＋2·π·()2＝3π2＋π.答案3π2＋π或3π2＋π3．正六棱锥的高为4cm，底面最长的对角线为4cm，则它的侧面积为________cm2.解析由题意知，底面边长为2cm，侧棱长为l＝＝2(cm)，斜高h′＝＝5(cm)．∴S侧＝6××2×5＝30(cm2)．答案304．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________．解析设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而l＝152－52，l＝92－52，而l＋l＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面积＝ch＝4×8×5＝160.答案1605．若正三棱锥的斜高是高的倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍．解析设斜高为2，高为3，则底面内切圆半径r＝＝，故S侧∶S底＝2∶＝2∶1.答案26.如图，三棱锥S－ABC中底面△ABC为正三角形，边长为a，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，求三棱锥的侧面积．解取AC的中点M，连结SM、MB. △SAC，△ABC为全等正三角形，∴SM⊥AC，BM⊥AC，且SM＝BM＝a，△SAB≌△SCB.又 平面SAC⊥平面ABC，∴SM⊥面ABC.过M作ME⊥BC于点E，连结SE，则SE⊥BC.在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，∴ME＝a，可求SE＝＝a.∴S侧＝S△SAC＋2S△SBC＝a2.7．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．(1)(2)解析由已知可得正方体的边长为a，新几何体的表面积为S表＝2×a×a＋4×2＝(2＋)a2.答案(2＋)a28．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________．解析由题可计算出直截面周长为5＋5，故S侧＝4(5＋5)＝20(1＋)．答案20(1＋)9．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．解析设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2m.∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πrm.∴当r＝＝时，S全有最大值.答案10．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为________．解析由三视图可得，该几何体为三棱锥D－ABC，其直观图如图所示，面DBC⊥面ABC，AC⊥AB，取BC边中点M，则DM⊥面ABC，且DM＝4，取AC边中点N，则MN＝3，且DN＝5，由此可得此三棱锥D－ABC的表面积为×6×5＋×6×5＋×6×4＋×6×6＝48＋12.答案48＋1211．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm，小棱锥底面边长为4cm，求截得棱台的侧面积和全面积．解(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，∴S大棱锥侧＝c1h1＝×6a×＝3a，S小棱锥侧＝c2h2＝×3a×＝a，S棱台侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝(6a＋3a)×＝a，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)S侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝144(cm2)，S上＝6××4×4×sin60°＝24(cm2)，S下＝6××8×8×sin60°＝96(cm2)，∴S全＝S侧＋S上＋S下＝144＋120(cm2)．12．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中放一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解经过轴的截面如图所示．(1)设所求圆柱的底面半径为r，则它的侧面积S圆柱侧＝2πr·x. △AEF∽△ADC，∴＝，∴r＝R－x.∴S圆柱侧＝2πRx－x2.(2) S圆柱侧＝－x2＋2πRx， －<0，∴S圆柱侧有最大值．当x＝－＝，即圆柱高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．13．(创新拓展)圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB＝12，从AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．(1)求绳子的最短长度；(2)求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．分析利用圆台的侧面展开图知识进行求解．...
